Элективный курс Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта

Программа элективного курса «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»

Пояснительная записка

Общая характеристика курса

Предлагаемый курс органически вписывается в систему предпрофильной подготовки учащихся в соответствии с принципами личностноориентированного образования. Курс «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта» является одним из альтернативных курсов, предлагаемых учащимся 9 класса. В содержании курса освящаются вопросы, связанные с проблемой решения неопределенных уравнений первой степени в целых (натуральных) числах, с рассмотрением данных уравнений в качестве математических моделей реальных задачных ситуаций, позволяющих продемонстрировать интересные приложения математических методов. Работа с учащимися на занятиях данного курса опирается на базовый уровень знаний и умений по теме «Линейные уравнения с двумя переменными и их системы», а также на умения учащихся выполнять операции над числами различной природы, особое внимание уделяется использованию знаний, связанных с вопросами делимости во множестве целых чисел.

В базовом школьном курсе при изучении линейного уравнения с двумя переменными рассматриваются только самые общие вопросы: определение линейного уравнения с двумя переменными, определение решения данного уравнения, равносильность уравнений с двумя переменными, график линейного уравнения. Вопрос о нахождении целых (натуральных) решений линейного уравнения с двумя переменными, о возможных методах его решения остается за рамками школьного учебника. Однако многие практические задачи сводятся к решению линейного уравнения с двумя переменными, эти задачи часто встречаются в вариантах математических олимпиад, конкурсах по решению задач. Знание общих методов решения таких уравнений, названных в математике – диофантовыми, существенно расширяет математический арсенал учащихся, позволяет им осознать необходимость изучения математики, способствует повышению интереса к предмету «математика», а как следствие ориентирует их на выбор математического (естественно-научного) профиля в старших классах средней школы.

Классы: 8 - 9

Тип элективного курса: углубляющий курс, имеющий временное согласование с учебным предметом

Количество часов: 12 (в неделю – 1 час)

Образовательная область: математика

Цель изучения курса: углубление и расширение знаний по математике, развитие логического мышления, формирование познавательного интереса к предмету, ориентация учащихся на выбор математического (естественно научного) профиля обучения в старших классах.

Основные задачи курса:

• познакомить учащихся с понятием диофантова уравнения, историей его появления в математической науке;
• научить решать диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными различными способами;
• научить решать текстовые задачи, описывающие различные практические ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными или их системы;
• расширить представления учащихся в области истории математики;
• продемонстрировать значимость математических методов в решении разнообразных задач науки и практики.

Организация изучения курса. Целесообразно включать предлагаемый элективный курс в учебный процесс после изучения необходимого материала в базовом курсе. В целях проведения профессиональной ориентации школьников, наиболее удачным будет постановка этого курса в 9 классе. Основные организационные формы реализации предлагаемой программы – лекционные, практические и семинарские занятия. Методы обучения, применяемые в процессе проведения занятий – школьная лекция, рассказ, беседа, метод упражнений и др. Формы обучения имеют как фронтальный, так и групповой, и индивидуальный характер. В ходе изучения курса используются и современные информационные технологии. Учащимся предлагается тематика учебно-исследовательских заданий, результаты выполнения которых, школьники представляют в форме доклада (реферата), сопровождая свое выступление на семинарских занятиях презентацией, подготовленной авторами в программе Power Point.

Планируемые результаты:

• выбор учащимися математического (естественно-научного) профиля на старшей ступени средней школы;
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для решения диофантовых уравнений первой степени с двумя переменными, для изучения естественнонаучных дисциплин в классах соответствующего профиля;
• развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;
• формирование навыков самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения ставить, формулировать и решать проблемы.

Система оценки достижений учащихся. В технологии проведения занятий присутствуют элементы перекрестной и самопроверки, что позволяет учащимся самим проверить, как усвоен ими изученный материал. Форма итогового контроля – командные соревнования, на которых для выполнения заданий учащимся требуются знания и умения, формируемые в ходе изучения элективного курса «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта». Также оценивается и самостоятельно подготовленный школьниками образовательный продукт в форме доклада (реферата) и компьютерной презентации.

Содержание элективного курса «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»

1.Введение. Цели и задачи курса, его организация. Диофант и его уравнения (исторический экскурс).

2.Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов. Актуализация знаний по теме «Линейное уравнение с двумя переменными» (определение уравнения, решения уравнения, график уравнения). Определение диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными. Способ перебора вариантов – метод решения диофантовых уравнений. Решение текстовых задач.

3.Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида. Актуализация знаний по теме «Наибольший делитель двух чисел. Алгоритм Евклида». Вывод формул для целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения алгоритма Евклида. Решение уравнений с использованием алгоритма Евклида. Решение текстовых задач.

4.Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби. Введение понятия цепной дроби. Алгоритм получения цепной дроби. Формулы целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения цепных дробей. Решение уравнений с использованием цепной дроби. Решение текстовых задач.

5.Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений. Алгоритм решения диофантова уравнения методом измельчения коэффициентов. Решение уравнений. Решение текстовых задач.

6.Диофантовы уравнения и великие теоремы. Теорема Пифагора. Теорема Ферма.

7.Решение задач, сводимых к диофантовым уравнениям или их системам. Решение диофантовых уравнений и их систем с использованием других приемов и методов.

8.Ученые - математики, внесшие свой вклад в теорию диофантовых уравнений: П. Ферма, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс, Д. Гильберт и др.

Тематический план элективного курса «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»

№ п/п	Тема занятия	Количество часов
1	Вводное занятие	1
2	Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов	1
3-4	Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида	2
5-6	Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби	2
7	Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений	1
8	Решение диофантовых уравнений различными способами Урок одной задачи (обобщающее занятие)|| 1
9	Диофантовы уравнения и великие теоремы	1
10-11	Решение задач, с использованием различных диофантовых уравнений или их систем	2
12	Ученые – математики, внесшие свой вклад в развитие теории диофантовых уравнений	1