Дробь — различия между версиями

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск
 
 
Строка 1: Строка 1:
'''Дробь в математике''' — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида и десятичные.
+
== Дробь ==
Виды дробей:
 
  
Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или где Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель знаменателем.
+
Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида+-m/n и десятичные.
 
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
 
 
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
 
  
Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.
+
== Виды дробей ==
  
Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.
+
[[Файл:Cake quarters.svg|thumb|<center></center>]]
 +
''Обыкновенная'' (или ''простая'') дробь — запись [[Рациональное число|рационального числа]] в виде +-m/n,n не равно 0.Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. [[Делимое]] называется ''числителем'' дроби, а [[делитель]] — ''знаменателем''.
 +
 
 +
==== Правильные и неправильные дроби ====
 +
''Правильной'' называется дробь, у которой [[абсолютная величина|модуль]] числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется ''неправильной'', и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
 +
 
 +
Например, дроби 3/5,7/8,1/2 — правильные дроби, в то время как 8/3,9/5,2/1 и 1/1 — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
 +
 
 +
==== Смешанные дроби ====
 +
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется ''смешанной дробью'' и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется ''простой''.
 +
 
 +
Например, 2 3/7 = 2 + 3/7 = 14/7 + 3/7 = 17/7. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.
 +
 
 +
=== Десятичные дроби ===
 +
Десятичной дробью называют [[Позиционная система счисления|позиционную]] запись дроби. Она выглядит следующим образом:
 +
: +-a1,a2,...,an,b1,b2
 +
Пример: 3,1415926
 +
 
 +
Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является [[Целая часть|целой частью]] числа (дроби), а стоящая после запятой — [[Дробная часть|дробной частью]]. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является [[Десятичная дробь|периодической дробью]].
 +
 
 +
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как  [[Фибоначчиева система счисления|фибоначчиева]]).
 +
 
 +
== Значение дроби и основное свойство дроби ==
 +
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
 +
 
 +
Если [[умножение|умножить]] числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
 +
:  P/R = C*P/C*R
 +
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные.
 +
Например:
 +
:  3/4 = 9/12 = 12/16
 +
 
 +
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют [[общий делитель]], то обе части можно разделить на него; такая операция называется ''сокращением'' дроби. Пример:
 +
: 12/16 = 12:4/16:4 = 3/4 — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.
 +
 
 +
''Несократимой'' называется дробь, числитель и знаменатель которой [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], т. е. не имеют общих делителей, кроме +-1
 +
 
 +
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. [[0,999…|Пример]]:
 +
: 0,999...=1 — две разные дроби соответствуют одному числу.
 +
 
 +
== Действия над дробями ==
 +
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. [[Десятичная дробь]].
 +
 
 +
=== Приведение к общему знаменателю ===
 +
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (''привести'') к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: a/b и c/d. Порядок действий:
 +
* Находим [[наименьшее общее кратное]] знаменателей: M=[b,d].
 +
* Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на M/b.
 +
* Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на M/d.
 +
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ''M''). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ''M'' любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
 +
 
 +
=== Сравнение ===
 +
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
 +
 
 +
Пример. Сравниваем 3/4 и 4/5. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.
 +
: 3/4 = 15/20; 4/5 = 16/20
 +
Следовательно, 3/4 < 4/5
 +
 
 +
=== Преобразование между разными форматами записи ===
 +
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной [[Периодическая дробь|периодической дробью]]. Примеры:
 +
: 1/2 = 5/10 = 0,5
 +
: 1/7 = 0,142857142857142857... = 0,(142857) — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
 +
 
 +
Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
 +
: 71,1475 = 71 + 1475/10000 = 71 1475/10000 = 71 59/400

Текущая версия на 19:40, 2 января 2013

Дробь

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида+-m/n и десятичные.

Виды дробей

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде +-m/n,n не равно 0.Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби 3/5,7/8,1/2 — правильные дроби, в то время как 8/3,9/5,2/1 и 1/1 — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, 2 3/7 = 2 + 3/7 = 14/7 + 3/7 = 17/7. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

+-a1,a2,...,an,b1,b2

Пример: 3,1415926

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

P/R = C*P/C*R

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

3/4 = 9/12 = 12/16

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

12/16 = 12:4/16:4 = 3/4 — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, кроме +-1

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

0,999...=1 — две разные дроби соответствуют одному числу.

Действия над дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: a/b и c/d. Порядок действий:

  • Находим наименьшее общее кратное знаменателей: M=[b,d].
  • Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на M/b.
  • Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на M/d.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем 3/4 и 4/5. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

3/4 = 15/20; 4/5 = 16/20

Следовательно, 3/4 < 4/5

Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

1/2 = 5/10 = 0,5
1/7 = 0,142857142857142857... = 0,(142857) — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

71,1475 = 71 + 1475/10000 = 71 1475/10000 = 71 59/400