Разбор заданий олимпиадного уровня

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Тема «Системы счисления»

I. Позиционные системы счисления В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.

Решение

1 способ

а) Перепишите условие задачи в виде уравнения: 110x=1210

б) Переведите число из x-ой системы счисления в десятичную. Для этого запишите число в развернутом виде:

1.x2+1.x1+0.x0=1210

x2+x-12=0

в) Решаем полученное квадратное уравнение: Дискриминант: D=b2-4ac=12-4.1.(-12)=49>0 - уравнение имеет два корня.

x1=(-b+7)/2a=(-1+7)/2=3

x2=(-b-7)/2a=(-1-7)/2=-4<0 - не может быть основанием системы счисления

Ответ: основание системы счисления равно 3.

2 способ

а), б)

в) Перенесем свободный член в правую часть и вынесем x за скобку:

x(x+1)=12 – т.е. при перемножении двух чисел должно получиться 12.

Это две пары чисел:

2 . 6=12

3 . 4=12

Анализируем:

Первая пара не соответствует условию, так как числа должны отличаться на 1. Поэтому основание системы счисления равно 3.

3.(3+1)=12

II. Непозиционные системы счисления

Карточка - задание

Решение:

Правило образования чисел в непозиционной системе счисления: цифры стоящие справа от большей добавляются к числу, стоящие слева от большей – вычитаются.

  • Рассмотрим первые два ряда фигур:

Пусть круг – x, треугольник (вверх) – y.

Тогда

y-x=4

y+x=6

Сложите два уравнения: 2y=10 y=5 x=1:

Фигура треугольник (вверх)=5

Фигура круг=1

  • Рассмотрим следующие три ряда фигур:

Проанализировав, делаем выводы:

фигура квадрат – 10=10+10-1=19

фигура прямоугольник – 100=100+100-10=190

фигура треугольник (вниз) – 1000=1000+1000-100=1900

Следовательно предложенная запись образует следующее число:

1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1=1997

Ответ: b).