Обсуждение участника:Молодых Елена Александровна

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Урок алгебры в 10-м классе по теме: "Решение квадратных уравнений и неравенств с модулем" (учитель математики МОУ «РКГ» Молодых Елена Александровна) Цели урока: • отработать навыки решений уравнений с модулем; • рассмотреть все методы решения уравнений с модулем (подробнее рассмотреть метод расстояний); • развивать внимательность, логическое мышление, самостоятельность и творческий подход к решению уравнений с модулем. ХОД УРОКА I. Повторение пройденного. – Какие методы применяются при решении уравнений с модулем? Ожидаемый ответ: 1) метод интервалов; 2) применение определения и свойств модуля; 3) метод расстояний. – Остановимся более подробно на методе расстояний. В чём он заключается? – Рассмотрим все этапы решения уравнения методом расстояний: 1) | x – 5 | + | x – 7 | = 4 а) Какие условия должны выполняться при решении уравнения таким методом? Ожидаемый ответ: 1) между модулями обязательно должен стоять знак “плюс”; 2) | с1 – с2 | => d. Решение:

Ответ: {4; 5} – Используя этот же метод, решите уравнения: 2) | 3 – х | + | х + 2 | = 9 Решение: по свойству модуля | 3 – х | = | х – 3 |, таким образом | х – 3 | + | х – (– 2) | = 9 Ответ: х1 = – 4, х2 = 5. 3) | 2х + 6 | + | 2х + 3 | = 7. Решение: обозначим 2х = t, тогда исходное уравнение примет вид: | t – (–6) | + | t – (–3) | = 7, t1 = – 8 => 2x1 = – 8, x1 = – 4; t2 = – 1 => 2x2 = – 1, x2 = – 0,5. Ответ: x1 = – 4, x2 = – 0,5. 4) | 5 – х2 | + | х2 – 11 | = 8. Решение: используя свойство модуля, запишем уравнение в виде: | х2 – 5 | + | х2 – 11 | = 8, введем новую переменную х2 = t. | t – 5 | + | t – 11 | = 8 t1 = 4 => x2 = 4, x1,2 = ±2; t2 = 12 => x2 = 12, x3,4 = . Ответ: x1,2 = ± 2; x3,4 = . 5) | 3 – х | + | х + 3 | = 6 Решение: по свойству модуля | 3 – х | = | х – 3 |, таким образом | х – 3 | + | х – (–3) | = 6 Ответ: x1 = – 3, х2 = 3. II. Объяснение нового материала. – Ребята, сегодня мы усложняем нашу задачу и рассмотрим решение уравнений вида: | ax2 + bx + c1 | + | ax2 + bx + c2 | = d. – Можно ли применить метод расстояний к решению уравнений такого вида? Ожидаемый ответ: Да, так как в обоих модулях есть одно и то же выражение (ax2+bx), обозначив которое за новую переменную, получим уравнение уже нам известное: | t + c1 | + | t – (– c2) | = d. – Давайте попробуем решить уравнение: | 2x2 – x – 3 | + | 2x2 – x – 8 | = 9. Решение: пусть 2x2 – x = t, тогда исходное уравнение примет вид: | t – 3 | + | t – 8 | = 9, применив метод расстояний,

получим: t1 = 1 и t2 = 10.

Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения: t1 = 1 => 2x2 – x = 1, 2x2 – x – 1 = 0, Д = 9, x1 = 1, х2 = – 0,5; t2 = 10 => 2x2 – x = 10, 2x2 – x – 10 = 0, Д = 81, x3 = 2,5, x4 = – 2. Ответ: x1 = 1; х2 = – 0,5; x3 = 2,5; x4 = – 2. III. Закрепление материала. – Самостоятельно решите уравнения: А. | 8x2 – x – 6 | + | 8x2 – x – 3 | = 9. Б. | x2 – 6x – 3| + | x2 – 6x – 13 | = 16. В. | x2 – 12x + 32 | + | x2 – 12 x + 37 | = 15. Решение: А. Пусть 8x2 – x = t, тогда | t – 6 | + | t – 3 | = 9, применив метод расстояний, получим: t1 = 0 и t2 = 9. Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения: t1 = 0 => 8x2 – x = 0, х(8x – 1) = 0, x1= 0, х2 = 0,125; t2 = 9 => 8x2 – x = 9, 8x2 – x – 9 = 0, Д = 289, x3 = – 1, x4 = 1,125. Ответ: x1 = 0, х2 = 0,125; x3 = – 1, x4 = 1,125. Б. Пусть x2 – 6x = t, тогда | t – 3 | + | t – 13 | = 16 применив метод расстояний, получим: t1 = 0 и t2 = 16. Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения: t1 = 0 => x2 – 6x = 0, х(x – 6) = 0, x1 = 0, х2 = 6; t2 = 16 => x2 – 6x = 16, x2 – 6x – 16 = 0, по теореме, обратной теореме Виета x3 = – 2, x4 = 8. Ответ: x1 = 0, х2 = 6; x3 = – 2, x4 = 8. В. Пусть x2 – 12x = t, тогда | t – (–32) | + | t – (–37) | = 15, применив метод расстояний, получим: t1 = – 42 и t2 = – 27. Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения: t1 = – 42 => x2 – 12x = – 42, x2 – 12x + 42 = 0, Д = – 24 < 0, корней нет; t2 = – 27 => x2 – 12x = – 27, x2 – 12x + 27 = 0, по теореме, обратной теореме Виета x1 = 3, x2 = 9. Ответ: x1 = 3, х2 = 9. На столах у учащихся карточки, в которых они заполняют первые три строчки: Номер уравнения Х1 Х2 Х3 Х4 Фамилия имя учащегося 1 А 2 Б 3 В 4 Г 5 Д IV. Решение уравнений. На доске записаны уравнения: № 1. | 8cos2x – cosx – 6 | + | 8cos2x – cosx – 3 | = 9. № 2. | 36x – 6x+1 – 3| + | 36x – 6x+1 – 13 | = 16. И учащимся предлагается решить их, используя метод расстояний. Решение уравнений разбирается на доске. Решение № 1: Пусть 8cos2x – cosx = t, | cosx | < 1, тогда| t – 6 | + | t – 3 | = 9, применив метод расстояний, получим: t1 = 0 и t2 = 9 (см.пример А) Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения относительно cosx: t1 = 0 => 8cos2x – cosx = 0, cosx = 0 => x1 = 1/2 + n , n ? Z; cosx = 0,125 => х2 = ± arccos0,125 + 2 k, k ? Z; t2 = 9 => 8cos2x – cosx = 9, 8cos2x – cosx – 9 = 0, Д = 289, cosx = 1,125 > 1 (нет корней) cosx = – 1 => x3 = + 2 m, m ? Z Ответ: x1 = /2 + n, n ? Z; х2 = ± arccos0,125 + 2?k, k ? Z; x3 = ? + 2 m, m ? Z. Решение № 2: | 62x – 6 • 6x – 3 | + | 62x – 6 • 6x – 13 | = 16. Пусть 62x – 6 • 6x = t, тогда | t – 3 | + | t – 13 | = 16, применив метод расстояний, получим: t1 = 0 и t2 = 16. (Cм. пример Б) Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения, относительно 6x.

t1 = 0 => 62x – 6 • 6x = 0, 6x (6x – 6) = 0, 6x = 0 – корней нет, 6x = 6 => x = 1. t2 = 16 => 62x – 6 • 6x = 16, 62x – 6 • 6x – 16 = 0, 6x = – 2 – корней нет, 6x = 8 => x = log68. Ответ: x1 = 1, x2 = log68. Решение незнакомого учащимся уравнения 6x = 8 рассмотреть графически. Ребята убеждаются в том, что корень есть, а учитель сообщает, что такой корень имеет вид x = log68, (это новая тема). V. Самостоятельная работа. Решить уравнения (учащимся предлагается воспользоваться результатами ранее решенных уравнений, чтобы сэкономить время): Г. | 2sin2x – sinx –3 | + | 2sin2x – sinx – 8 | = 9. Д. | | + | | = 15. Решение: Г. Пусть 2sin2x – sinx = t, | sinx | < 1 | t – 3 | + | t – 8 | = 9, получим: t1 = 1 и t2 = 10. (Cм. пример 1). Сделав обратную замену, решим два квадратных уравнения: t1 = 1 => 2sin2x – sinx = 1, 2sin2x – sinx – 1 = 0, Д = 9, sinx = 1 => x1 = /2 + 2 n, n ? Z; sinx = – 0,5 => х2 = (–1)k+1 /6 + k, k ? Z; t2 = 10 => 2sin2x – sinx = 10, 2sin2x – sinx –10 = 0, Д = 81, sinx = 2,5 или sinx = – 2 => нет корней Ответ: x1 = /2 + 2 n, n ? Z; х2 = (–1)k+1?/6 + k, k ? Z. Д. | | + | | = 15. (Cм пример В). t1 = – 42 и t2 = – 27

– нет решений.

| х2=2 | x1,2 =  .
=> х2=1 => x3,4 = ± 1.

Ответ: x1,2 = , x3,4 = ±1. Учащиеся вносят ответы в карточку, строчки 4 и 5, и сдают учителю на проверку. VI. Подведение итогов урока. По карточкам учитель подводит итоги урока. В то время, пока учитель проверяет карточки, учащиеся сами составляют три уравнения по теме урока, это будет их домашним заданием. Оценки за урок выставляются в журнал.