Малюкина П.В. элективный курс "Тайны мира чисел"

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс предпрофильной подготовки предназначен для учащихся 8 классов, ориентированных на выбор естественнонаучного профиля, рассчитан на 8 часов.

Курс посвящен числам. На практике мы часто встречаемся с числами не только в математике, но и в других сферах деятельности и курс «Тайны мира чисел» позволит углубить знания учащихся , заглянув в прошлое мира чисел. Данный курс имеет большой развивающий потенциал, так как способствует формированию внимательного отношения к истории, приучает анализировать информацию. Многие математические теории нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет, виден их глубокий жизненный смысл, их необходимость.

Курс включает теоретический материал ,который содержит несколько видов чисел и их историю возникновения, формулы и свойства раскрывающие магию таинственности чисел ,образцы решения наиболее типичных задач, а также задания для самостоятельной работы поискового характера.

Содержание курса позволяет ученику любого уровня обученности активно включатся в учебно - познавательный процесс и максимально проявить себя, поэтому при изучении акцент следует делать не столько на приобретение дополнительных знаний, сколько на развитее способности учащихся приобретать эти знания самостоятельно, их творческой деятельности на основе использования материалов из истории математики.

Освоение содержания программы курса способствует интеллектуальному, творческому, эмоциональному развитию школьников и повышает уровень его математической культуры.

Учитывая сильную загруженность детей курс не содержит сложных доказательств теорем и задач, а включенный в программу материал имеет познавательный интерес для учащихся, который позволяет передать красоту математики. Нет необходимости требовать от учащихся запоминания всех фактов, имен, дат и т. д. Достаточно того ,что в процессе изучения математики они ознакомятся коротко с историей ее развития, вспомнят эпоху, в которой прошло то или иное открытие, услышат имена выдающихся ученых. Не все, но многое из услышанного останется в памяти. Математика потеряет ореол «сухой» науки, а значит, станет несколько интереснее, такое расширение знаний будет только полезным, так как оно дает еще один толчок к пробуждению интереса к науки.

Основными формами занятий могут быть уроки –лекции и семинары, с применением презентаций.

Темы предстоящих семинаров следует объявить заранее (указать некоторую литературу) , каждый ученик будет иметь возможность на одном из занятий выступить с подготовленным сообщением.

Итоговое занятие можно провести в виде собеседования за круглым столом или защиты исследовательского задания по теме курса или на тему «Числа правят миром».

Вопросы , рассматриваемые в курсе , выходят за пределы объема обязательных знаний, но вместе с тем они тесно примыкают к основным вопросам программного материала. Целями данного курса являются :

1.Создание условий для активизации познавательного интереса и для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

2Развитие математических ,интеллектуальных способностей учащихся.

3.Создание учащимся условий для обоснованного выбора профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей на основе расширения представлений о мире чисел

4.Показать , что числа правят миром.


Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

1.Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

2Расширение представлений о богатстве и красоте мира чисел.

Требования к усвоению курса. Учащиеся должны уметь:

Использовать возможности интернета Применять в своей работе различные источники учебной информации Проявить себя в самостоятельной деятельности на основе использования исторического материала

Учащиеся должны знать:10 видов чисел.


Тематический план учебного материала

Содержание курса Кол-во часов Технология реализации
1 История возникновение чисел разных народов. Числа великаны. 1 Презентация

учителя. Практикум

2 Двоичная система счисления. Числа Фибоначчи 1 Лекционно-практическое
3 Простые числа, числа близнецы,числа Мерсенна, числа Ферма и проблема Гольдбаха. 1 Лекционно-практическое
4 Фигурные , совершенные, дружественные числа 1 Лекционно-практическое
5 Трансцендентные числа 1 Лекционно-практическое
6 Число Апокалипсиса. Магия и суеверия чисел. 1 Лекционно-практическое
7 Математические фокусы 1 Театральное представление
8 Mагия в формулах и свойствах. «Числа правят миром» -творческие работы. 1 Защита творческих работ
Итого 8



Занятие 1

Цели:

Откроим тайны мира чисел. Познакомить с обозначением чисел у разных народов в прошлом и числами великанами, показать их жизненную необходимость.

История возникновение чисел разных народов.

Изучая явление природы и окружающей жизни, люди везде находили предметы для счета. Число возникло с появлением у человека потребности практической деятельности. Числовые представления (как и наша речь ) неразрывно связаны с существованием самого человека, так как на всех ступенях своей истории он был связан с процессом счета окружающих предметов и проведением каких-то измерений. «Число - это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными». «Все есть число». Вот такие положения проповедовал древнегреческий математик Пифагор. Наибольшие числа натурального ряда, которые постигали в результате счета, породили у человека много числовых суеверий и мистических представлений, были для него таинственными, наделялись сверх естественными свойствами и считались священными. Запись чисел при помощи цифр возникла не сразу. В течении многих веков люди писали все число словами. Это занимало много времени и места, было не наглядно и затрудняло действия. Постепенно слова стали сокращать или писать только начальными буквы слов, выделяя их из среды других букв особыми знаками. Некоторые народы от записи слова перешли к записи специально придуманными знаками. Знаки эти у разных народов были различными, да и у одного народа встречались неодинаковые знаки для обозначения одних и тех же цифр. Возникали недоразумения, люди перестали понимать друг друга . Потребовались многие сотни лет, чтобы выработать единые знаки и систему записи чисел. Египтяне имели нумерацию с десятичной основой. Рассмотрим цифры некоторых народов :

1. Вот цифры , которыми пользовались египтяне около 4000 лет назад.

Chisla_1.jpg

2.Вот вавилонские цифры . Они тоже употреблялись около 4000 лет назад:

Chisla 2.jpg

У вавилонян - шести десятеричная система счисления.

3. У китайцев в ходу было несколько систем цифр, Вот цифры ученых трактатов:

Chisla 3.jpg


А эти цифры коммерческие, употреблявшиеся купцами и торговцами:

Chisla 4.jpg


4. В древней Греции первые 9 букв алфавита с черточками над ними обозначали числа от 1 до 9. следующие 9 букв обозначали десятки, последние - сотни:

Chisla 5.jpg

Таким образом, число 23 греки писали,

Chisla 6.jpg Chisla 7.jpg Chisla 8.jpg

Для обозначения тысяч применялись те же буквы, что и для первого десятка, но они отделялись от сотен, запятой.

5. Г В IX в. славянские просветители — монахи братья Кирилл (умер в 869 г.) и Мефодий (умер в885г.) — по образцу и подобию греческой нумерации составили церковнославянскую нумерацию для Южной Руси.

С годами вместе с церковными книгами эта нумерация проникла в Центральную и Северную Русь и держалась около 700 лет. Церковнославянская нумерация — точная копия греческой нумерации. Каждая буква независимо от ее положения обозначала одно и то же число.

Вот таблица славяно-греческих числовых знаков:

Chisla 9.jpg



Образцы записи чисел в старинной русской нумераций;


ЧИСЛО 85 по-славянски записывалось:

Chisla 10.jpg

Число 128 по-славянски записывалось:

Chisla 11.jpg

Чтобы указать, что эти буквы следует считать числами, над каждой из них ставили особый знак:

Chisla 12.jpg

(титло).

Для обозначения тысяч, перед числом тысяч ставили


значок


На пример» 1982 записывалось так:


Для обозначения десятков .тысяч (славяне называли это число тьмою), букву ставкой в кружок.


Например, 40 086 записывалось так:

Нуль не обозначался никак и не писался вообще. Для обозначения сотен тысяч букву брали в кружок из точек» например;



Древние римляне записывали числа при помощи сле¬дующих специальных знаков:



Римская система нумерации очень громоздка. Большие числа при помощи ее записывать неудобно» произво¬дить действия хуже, чем с нашими современными цифрами. Разберем несколько простых примеров в римской ну¬мерации:

Употребляемая нами система нумерации и цифры заро¬дились в Индии не позже V в. н. э. Главное преимущество андийской системы заключается в том» что значение каждой цифры определяется ее местом в числе. Нам это кажется очень простым, но додуматься до этого было очень труд¬но. Это было величайшим открытием в мировой науке древ¬них. Самое трудное было придумать нуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая точно датированная запись, в которой встречается знак нуля, от¬носится к 876 г. Но это не значит, что до этого знак нуля не употреблялся. Он был открыт, вероятно, около 500 г, н.э. может быть, даже и раньше. До изобретения нуля индийцы пользовались своей сис¬темой нумерации без нуля. Вместо него ставили черточки, писали словами и т. д. В VIII в, арабы переняли индийскую нумерацию н пе¬редали ее в Европу. На Руси индийские цифры стали известны в начале XVII в/ Христианская церковь- приняла новые цифры враждеб¬но. Причина заключалась в том, что новью цифры и систе¬ма записи чисел были просты и доступны всякому. Люди потянулись к знаниям, а этого-то как раз и не хотели попы задачей которых было тормозить распространение грамоты и математических знаний. Была и еще одна причина враждебного отношения хри¬стианской церкви к новым цифрам. В те годы шла ярост¬ная борьба между византийской и римско-католической церквами за влияние на Руси. У католиков в употребле¬нии были новые цифры. В борьбе за господство на Руси ви¬зантийская церковь оказывала сопротивление всему, что в какой-то степени было связано с католицизмом. Индийская нумерация и десятичная система записи чи¬сел были объявлены безбожными и колдовскими, книги, в которых встречались новые цифры, запрещалось не толь¬ко читать, а даже держать у себя дома. Тех, кто нарушал это, жестоко наказывали. Так, например, в 1676 г. боярину Морозову было предъ¬явлено обвинение в колдовстве и чернокнижии только па-тому, что у него дома была найдена медицинская книга, в которой "... писаны многие статьи цифирью».Боярин поплатился за свое «вольнодумство».Теперь индийские цифры и десятичная система нуме¬рации применяются во всем мире, и мы почти не задумы¬ваемся над тем» как долог и как труден был путь ее разви¬тия. Числа великаны




















Наибольшие числа натурального ряда, которые постигали в результате счета, породили у человека много числовых суеверий и мистических Наибольшие числа натурального ряда, которые постигали в результате счета, породили у человека много числовых суеверий и мистических представлений, были для него таинственными, наделялись сверх естественными свойствами и считались священными.

Посмотрим какие есть числа великаны.

    На примере сказки «Легенде о шахматах».
Задача: на первую клетку шахматной доски положили одно зерно, на вторую-два зерна, на треть четыре итак до 64клетки, постоянно удваивая  число зерен предыдущей клетки.
  Вот это число 18446744073709551615. Если10 зерен весят один грамм, то это 184 миллиарда467 миллионов440 тысяч 737 тонн 95 килограммов и 516 граммов пшеницы. Если на всей земле за год выращивают 2 миллиарда тонн, то ,это зерно надо выращивать 92 года.
 Как записать это число- .S =18,5* !0 

Задача: Сделка. Каждый день получаешь по 100000рублей ,а отдавать в первый день 1 копейку . Во «день -4 копейки и так целый месяц. Итог : получил 3 миллиона , отдал 10 миллионов.

Задание для самостоятельной работы Задача : как велик миллиард? за сколько времени вы смогли бы сосчитать до миллиарда? За 1 минуту можно сосчитать до 125. 1000000000 :125 =8000000 мин = 133333час =5555суток =15 лет , если считать по 8 час в сутки, то пришлось бы считать 45 лет. Задача: посчитайте сколько времени лететь до Солнца ? До Солнце около 150000000км, а космическая ракета пролетает за час 40000км !50000000:40000= 4000час=166дней. Быстрое размножение. Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скуч¬ное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Ока¬зывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зернышек. Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки! Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее 3000 х 3000 = 9 000 000 растений. Легко рассчитать, что на третий год число потом¬ков нашего единственного мака будет уже достигать.9000000 х 3000 = 27000000000.А на четвертый год.27000000000 х 3000 = 81000000000000. Й на пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным.81000000000000 х 3000 = 243 000000000000000. Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и остро* вов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, — 135000000000000 кв. м. — примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпля¬ров мака. Вы видите, что если бы все зернышки мака про¬растали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скры¬вается в крошечном маковом зернышке.


Занятие 2

Цели:

познакомить с двоичной системой счисления, с математическими действиями в этой системе с числами Фибоначчи.

Двоичная СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

        Прочитайте шуточное стихотворение А.Н.Старикова «Необыкновенная девочка»:
        Ей было тысяча сто лет,
        Она в сто первый класс ходила,
        В портфеле по сто книг носила-
        Все это правда, а не бред.
        Когда, пыля десятком ног,
        Она шагала по дороге,
        За ней всегда бежал щенок
        С одним хвостом, зато стоногий.
        Она ловила каждый звук
        Своими десятью ушами,
        И десять загорелых рук
        Портфель и поводок держали.
        И десять темно-синих глаз
        Рассматривали мир привычно…
        Но станет все совсем обычным,
        Когда поймете наш рассказ.
       Разгадать загадку поэта нам поможет следующее наблюдение. Выпишим упомянутые в стихотворении числа: 1, 10, 100, 101, 1100. Легко заметить, что все они записываются с помощью лишь двух цифр: 0 и 1. Может быть, здесь зашифровано разложение чисел по степеням двойки? Проверим.«Ей было 1100 лет»: 1 ■ 23  +  1 ● 22   +  0 ■ 21  + * 0 ● 2○  =  12. Значит, ей было 12 лет.

«Она в 101-й класс ходила»: 1 ● 22 + 0 ■ 21 + + 1 ■ 2○ = 5. Значит, она ходила в 5-й класс. И так далее. Действительно, получается совсем обычная картина. А помогла нам двоичная система счисления.

  Итак, позиционная система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа 2, называется двоичной позиционной системой счисления. Чтобы различить      числа, записанные в разных системах счисления, их заключают в скобки, а внизу справа указывают основные системы счисления. Например, запись (1100)2  означает то же самое число, что и запись (12)10. Поскольку все мы пользуемся  десятичной системой счисления, то десятичное основание обычно не указывается : (1100)2  = 12.
     Чтобы понять стихотворение о необыкновенной девочке, пришлось перевести числа из двоичной системы в десятичную. 

ГРА «ЦЗЯНЬШИЦЗЫ» И ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

В позиционных системах счисления мы фиксируем некоторое основание – целое положительное число d – рассматриваем базис, составленный из степеней этого числа: d . d . d …… d . …. А что будет, если в качестве базиса выбрать не геометрическую прогрессию, а любую последовательность возрастающих натуральных чисел q = 1<q <q <…<q <…? Именно таким обобщенным базисом пользовались, например, индейцы майя (см..статью «Старинные системы записи чисел»). В их системе счисления q = 1, q = 20, q = 18q , q = 20q , q = 20q , и т.д.

  Любопытным примером  системы счисления с обобщенным базисом  является Фибоначчиева  система  счисления. В ней в качестве базисных чисел берутся числа последовательности Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…., в которой каждый член, начинается с третьего, равен сумме двух предыдущих членов (см.статью «Последовательности»).
    При системе счисления с базисом 1, 2, 3, 5, 8, 13,….в качестве цифр достаточно иметь только 0 и 1. Единица в первом (крайнем правом)	


разряде обозначает 1, во втором – 2, в третьем – 3, в четвертом – 5, в пятом – 8, и т.д. Правда, запись числа в такой системе будет неоднозначной. Например, число 5=2+3 может быть записано так 110 и 1000. Чтобы избежать такой неоднозначности, достаточно договорится не ставить рядом две единицы. Тогда каждое натуральное число в Фибоначчиевой системе счисления записывается единственным образом:

   0 = 0          9 =   10001
   1 = 1        10 = 10010
   2 = 10      11 = 10100
   3 = 100    12 = 10101
   4 = 101    13 = 100000
   5 = 1000  14 = 100001
   6 = 1001  15 = 100010
   7 = 1010  16 = 100100
   8 = 1000   и т.д.
   Рассмотрим одну китайскую игру – «цзяньшицзы». В этой  игре два игрока по очереди берут камни из двух кучек. За один раз можно взять любое число камней  из одной кучки или поровну из обеих. Выигрывает тот. Кто забирает последние камни, тем самым лишая партнера возможности сделать ход.
   Если проанализировать эту игру для небольших значений числа камней в кучах, то	


получим, что начинающий ее проигрывает, если в кучках будут такие количества камней: 0 и 0 (это очевидно); 1 и 2; 3 и 5; 4 и 7; 6 и 10; 8 и 13; 9 и 15.

    В этой последовательности пар чисел каждое меньшее число пары является наименьшим числом, ещё не появившимся в предыдущих парах. А вот закон образования большого числа совершенно непонятен. Но давайте запишем эти пары чисел в Фибоначчиевой системе счисления.

Паре <0; 0> соответствует <0;0>, <1; 2>, - <1; 10>, <3; 5>, - <100; 1000>, <4, 7>, - <101, 1010>, <6, 10>, - <1001, 10010>, <8, 13>, - <10000, 100000>, <9, 15>, - <10001, 100010> ………………………………..

Теперь уже видно, что большее число получается из меньшего добавлением нуля в конце числа. Попробуйте самостоятельно выяснить, почему именно эти пары чисел являются проигрышными для того, кто начинает игру, а заодно обосновать их связь с Фибоначчиевой системой счисления Материал для самостоятельной работы. Подготовить работы на тему «Числа во круг нас»


Занятие 3

Цели: Познакомить с различными видами чисел: простыми, числами близнецами, Числа Мерсенна, числа Ферма и с проблемой Гольдбаха.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Каждое натуральное число, большее единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие-то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, ни составным. Почему?.. Об этом речь впереди (см. статью «Основная теорема арифметики»).

Небольшую «коллекцию» простых чисел нам поможет составить старинный способ, придуманный ещё в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2 (рис. 1). Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим незачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее незачёркнутое число – это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, мы в конце концов добьемся того, что незачеркнутыми останутся одни лишь простые числа – они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название «решето Эратосфена».

Можно ли, вторя поэту, сказать, что простых чисел столько, « сколько звезд на небе, сколько рыб в воде»? Ответ находим в девятой книге знаменитого сочинения Евклида «Начала»- нетленного памятника Древнего мира. Двадцатая теорема в этой книге утверждает: «Первых (простых) чисел существует больше любого указанного числа их».



Решето Эратосфена. БЛИЗНЕЦЫ.

Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили образное название «близнецы». Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже «тройня» - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно.
Числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка «подправив» решето Эратосфена. Если для каждого вычеркнутого способом Эратосфена числа n вычеркнуть также число n – 2, то в таблице останутся лишь такие числа p , для которых число  p + 2 тоже простые. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). 
По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше, хотя исследования, проводимые «в глубоком числовом космосе»,  продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На 1996 г. рекордсменами считались близнецы 242 206 083 • 238 880  1 , найденные, естественно, с помощью ЭВМ. 
Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки вида (n – 4, n – 2, n + 2, n + 4), например (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19).  Как много таких скоплений – тоже пока неизвестно. 
n, меньших 257. но и с этим предположением не обошлось без коллизий. Хотя кое- чего монах всё- таки достиг: если число 2n – 1 простое, его называют числом Мерсенна. 
Заблуждение Мерсенна продержалось до 1883 г.
ЧИСЛА МЕРСЕННА: ЗАБЛУЖДЕНИЯ И РЕКОРДЫ.

Легко убедиться, что если число n составное, то число 2n – 1 тоже составное. В самом деле,

  2n – 1= 2kl – 1 = (2k)l – 1 = (2k - 1)(2 k(l-2)+ …+1).
Вплоть до 1536 г. было распространенно мнение, что верно и обратное, т.е. простота n влечет за собой простоту 2n – 1, пока Ундалкакус Региус не отметил, что 211 – 1 = 2047= 23 • 89. Однако длительный период драматических заблуждений был ещё впереди. На пороге  столетия Пьетро Антонио Катальди проверил, что 217 – 1 и 219– 1 суть простые числа, и позволил себе утверждать, что 2 – 1 просто также при n = 23, 29, 31, 37. В 1640 г. Пьер Ферма установил, что для 23 и 37 это утверждение не верно, а в 1738 г. Леонард Эйлер показал его ошибочность для 29, но подтвердил истинность для 31.
Тем временем в 1644 г. французский монах- ученый Марен Мерсенн заявил, что числа 2n – 1 просты при n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 и не просты при остальных 44 простых 

ЧИСЛА МЕРСЕННА. ТАБЛИЦА РЕКОРДОВ.

Номер числа n Год Номер числа n Год 1 2 _______ 19 4253 1961 2 3 _______ 20 4423 1961 3 5 _______ 21 9689 1963 4 7 ______ 22 9941 1963 5 13 1456 23 11213 1963 6 17 1588 24 19937 1971 7 19 1588 25 21701 1978 8 31 1772 26 23209 1979 9 61 1883 27 44497 1979 10 89 1911 28 86243 1982 11 107 1914 29 110503 1988 12 127 1876 30 132049 1983 13 521 1952 31 216091 1985 14 607 1952 32 756839 1992 15 1279 1952 33 859433 1994 16 2203 1952 34 1257787 1996 17 2281 1952 35 1398269 1996 18 3217 1957 ? 2976221 1997

ЧИСЛА ФЕРМА. В одном из своих писем к Марену Мерсенну Пьер Ферма высказал предположение, что числа вида 2n + 1 обязательно простые, если n – степень двойки. Он проверил это для n = 1, 2, 4, 8 и 16. Ферма также знал, что если n не степень двойки, то число 2n + 1 не простое. Числа вида 22n + 1 стали называть числами Ферма.

Гипотеза Ферма прожила более ста лет – до тех пор, пока в 1732 г. Леонард Эйлер не показал, что 
 232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 • 6 700 417.
Все дальнейшие проверенные числа Ферма тоже оказались составными, так что естественно возникает предположение, прямо противоположное исходному: а не конечно ли количество простых среди чисел Ферма?
 Известны достаточно общие свойства чисел Ферма. Например, любые два числа Ферма взаимно просты. Карл Гаусс доказал, что правильный 

n-угольник строится при помощи циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон n = 2a • p1 p2 …p, где все простые числа p1 имеют вид 22 + 1. Среди первых 1000 значений таких n всего 54.

 Общетеоретическую значимость чисел Ферма для изучения простых обусловливает следующая теорема:
Если a 2 и число a2 + 1 простое, то  a четно и n = 2m.

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА.

Выпишем все простые числа от 1 до 50: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. 
А теперь попытаемся любое число от 4 до 50 представить в виде суммы двух или трех простых чисел. Возьмем несколько чисел наугад:

50 = 47 + 3, 46 = 43 + 3, 32 = 29 + 3, 22 = 19 + 3, 18 = 13 + 5.

Как видим , поставленную задачу мы выполнили без труда. А всегда ли это возможно? Любое ли число можно представить в виде суммы нескольких простых чисел? И если можно, то скольких: двух? трех? десяти?
В 1742 г. член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предложение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел. 
Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа « проблемой Гольдбаха» и сформулирована так, требуется доказать или опровергнуть предложение: 
Всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.
Л. Эйлер ответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще более интересную догадку:
Всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собой сумму двух простых чисел.
В самом деле, возьмем наугад несколько четных чисел и каждое из них попытаемся представить в виде суммы двух простых чисел: 
               12 = 5+ 7;
               64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17;
               28 = 11 + 17 = 23 +  5;
               162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.
Как видим, в этих случаях мы задачу решили успешно и не единственным способом. А всегда ли это возможно?  Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха – Эйлера, но безуспешно. 

Материал для самостоятельной работы. Подготовить материал «Числа правят миром»


Занятие 4

Цели:

Рассмотреть виды чисел: фигурные совершенные, дружественные.

Совершенные и дружественные числа.Строгие каноны совершенства.

Совершенными называются числами, равные сумме своих делителей (т. е. всех делителей, включая единицу и исключая само число). Таковы, например, числа 6 и 28, поскольку 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. Люди обратили на них внимание очень давно. Древнеегипетская мера длины локоть содержала 28 пальцев. В Древнем Риме существовал обычай отводить на пирах шестое место самым знатным и почётным гостям. Совершенными числами увлекались пифагорейцы – последователи школы древнегреческого математика Пифагора.

Одна из теорем в девятой книге Евклидовых «Начал» посвещана замечательному свойству совершенных чисел, открытому, как полагают, учениками Пифагора: если число p-1+2-4 +…+2n =2n+1= -1 простое, то число 2n •p совершенное. В справедливости этого утверждения можно убедиться, рассмотрев все собственные делители числа 2n •p:1,2,4,…,2n , 2n-1 -1,2• (2n+1 -1), 4•(2 n+1 -1), …,2 n-1 •(2 n-1 -1)

В «Арифметике» Никомаха из Геразы (Ι в. н.э.) имеется четвёртое совершенное число: 8128. Никомах писал: «Совершенные числа красивы. Однако красивые вещи редки и малочисленны. Большинство чисел являются избыточными или недостаточными, в то время как совершенных чисел немного. Среди единиц их всего лишь одно, так же среди десятков, сотен и тысяч».

Из сказанного видно, что по мере продвижения начала в натуральном ряду совершенные числа встречаются всё реже и реже. В первых 10000 имеется всего четыре совершенных числа. Древнегреческие математики уделяли большое внимание вопросу нахождения совершенных чисел. В IX книге «Начал» Евклида доказано, что совершенным является любое число вида 2n •p, где p=1+2+22+…+2n – простое число, k – натуральное число. Примеры:

                          2(22-1)=6;                22(23-1)=28;
                          2(25-1)=496;            26(27-1)=8128.
  

Пятое совершенное число 212(213-1)=33550336 было найдено немецким математиком Региомонтаном (XV в.), который, между прочим, один из первых использовал в своих трудах знаки «+» и «-». В XVI в. Немецкий учёный Шейбель нашёл ещё два совершенных числа: 8589869056 и 137438691328 (p=17, 19). Числами вида 2m-1 много занимался французский математик Мерсенн (1588-1648), известный также своими переводами трудов древнегреческих математиков. В его честь эти числа были названы числами Мерсенна. В 1644г. Мерсенн нашёл восьмое совершенное число (p=31). Это число, то есть 230 (231-1), выражается квинтиллионами. Лишь около 250 лет спустя замечательный русский математик-самоучка Иван Михайлович Первушин (1827- 1900) доказал, что число 261 -1 тоже простое, и таким образом было, найдено девятое совершенное число 260 (261 -1). В 1911- 1914гг. были найдены ещё три совершенных числа (для p=89, 107, 127). Никакие другие совершенные числа, кроме вышеуказанных двенадцати, не были известны до середины нашего века. Начиная с1952г. Большие простые числа вида 2n -1 были найдены учёными с помощью электронных счётных машин.

Все совершенные числа, которые можно найти по правилу Евклида, чётные. А существуют ли нечётные совершенные числа? До сих пор это неизвестно, хотя многочисленные исследования, выполняемые с XXв., свидетельствуют если такие числа и существуют, то они должны подчиняться многочисленным «хитрым» условиям. Современный немецкий математик Вальтер Боро как-то раз сказал: «Работы, посвящённые нечётным совершенным числам, напоминают охоту за призраком: никто никогда его не видел, но проведено много остроумных исследований того, как он не может выглядеть».

                               УЗЫ ДРУЖБЫ В МИРЕ ЧИСЕЛ       

Два натуральных числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей m равна n, а сумма собственных делителей n сумма m.

История дружественных чисел теряется в глубине веков. По свидетельству античного философа Ямвлиха (ΙΙΙ- IVвв.), великий Пифагор на вопрос, кого следует считать своим другом, ответил: «Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284». Проверьте, пожалуйста, что числа 220 и 284 дружественные.

Для нахождения дружественных чисел арабский учёный Сабит ибн Курра (IXв.) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n, подсчитать вспомогательные величины p=3•2 n-1-1, Q= 3•2 n-1-1 и r=9•2 n-1-1. если окажется, что числа p,q,r простые, тогда числа А=2 npq и В=2 nr дружественные.

Фигурные числа

Пустейшими фигурными числами являются треугольные числа: 1,3,6,10,15,21,28,36…

Отсюда видно, что последовательность треугольных чисел можно легко составить следующим образом: из ряда натуральных чисел 1,2,3,4,5,6,7…берём первое число 1, затем сумму первых двух (1+2=3), сумму первых трёх (1+2+3=6), и т.д.

Задание для самостоятельной работы:

Напишите первые 15 треугольных чисел и начертите соответствующие треугольники.


                                                                                                                              Другой вид фигурных чисел – «квадратные» числа. Квадратными называются числа ряда 1,4,9,16,25,36…,то есть квадраты натуральных чисел: 1,2,3,4,5,….Выше было указано, что ряд треугольных чисел получается путём последовательного суммирования чисел натурального ряда. Аналогично можно получить ряд квадратных чисел из ряда нечётных чисел 1,3,5,7,9,11,13,15,17… Действительно 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16

Задание для самостоятельной работы:

Напишите несколько квадратных чисел и начертите соответствующие квадраты.

В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. Так появились квадратные числа (1,4,16,25,…). На рисунке 1 показано правило из образования. Любое п-е порядку квадратное число находится по формуле

         Nкв =n2 


Были сконструированы треугольные (1,3,6,10,15,….) и пятиугольные а пятиугольное по формуле

                 Nпят = n+3 .   

Все составные числа древние математики представляли в виде прямоугольников размером m • n, выложенных из камней, где обязательно m ≠1 и n≠1(на рисунке изображены всевозможные представления составного числа 12).

12=6∙2 12=4∙3 12=3∙4 12=2∙6 Простые числа представляли в виделиний 1 • n. В связи с этим составные числа древние

 учёные называли прямоугольниками, а простые- 3=1∙3      7=1∙7  непрямоугольными                                              

Материал для практической работы:

Задача . Найти седьмое по порядку: 1) квадратное число; 2) треугольное число; 3) пятиугольное число. Решение: 1) По формуле (1) при n=7 находим Nкв. = 72 =49 2) По формуле (2) при n=7 находим

                              Nтр= =  =28

3) По формуле (3) при при n=7 находим

                    N=7+3∙ =7+3∙21=70

Занятие 5

Цели:

знакомство с понятием трансцендентные числа, тренировка как запомнить значение е, π и формулы связанные с этими числами.

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА.

Выражение «трансцендентное число» наверняка слышали все. В школе обычно сообщают, что π и е – трансцендентные числа. Однако что это значит – не каждый понимает.

Латинское слово «transcendentis» можно перевести как «потусторонний». Каким же образом это слово, столь любимое философами, проникло в математику? Неужели и здесь есть свой «потусторонний мир»?

КАК ЗАПОМНИТЬ ПЕРВЫЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА π

Три первые цифры числа π = 3,14… запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:

     Нужно только постараться 
     И запомнить всё как есть:
     Три, четырнадцать, пятнадцать,
     Девяносто два и шесть.
                                С. Бобров. «Волшебный двурог»

Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать восемь знаков числа π: 3, 1415926…

    В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:     «Что я знаю о кругах?» (π ≈ 3, 1416);
    «Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец!» (π ≈  3, 1415927);
    «Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать»  (π ≈  3, 14159265359).
    Поговорку «Что я знаю о кругах?» предложил замечательный популяризатор науки Яков Исидорович Перельман. Учитель одной из московских школ придумал строку: «Это я знаю и помню прекрасно», а его ученица сочинила забавное продолжение: «Пи многие знаки мне лишни, напрасны» - это двустишие позволяет восстановить 12 цифр. 
    А так выглядит 101 знак числа  π без округления:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679. ФОРМУЛА ЧУДНЫХ СОВЕРШЕНСТВ С числом π связано множество красивых формул:

                                                   (Ф. Виет),
                (Дж. Валлис),
 
               (Л. Эйлер),
               (Л. Эйлер)

(многоточие здесь означает, что выстраивать числовые конструкции следует продолжать и дальше).

     Есть ещё такая формула:

π = 2k-1 , k 2 Если предыдущие формулы обосновываются в солидных курсах математического анализа, то для вывода последнего соотношения достаточно сведений, почерпнутых из стандартного школьного учебника. Как известно, периметр вписанного в окружность диаметром 1 правильного п – угольника вычисляется по формуле

              .

При больших значениях п периметр рп приблизительно равен числу π.

ПРЕКРАСНЫЙ СОЮЗ «Судьбы» двух констант – π и е – тесно переплелись. Эту пару, стоящую в одной формуле, можно встретить в самых разных областях математики: в теории чисел, теории рядов, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей.

Вот, например, формула, открытая индийским математиком Сринивасой Рамануджаном. Если то . Эту формулу, без всяких сомнений, можно отнести к шедеврам математики. Ни бесконечный ряд, ни цепная дробь в левой её части в отдельности не выражаются через числа π и е, а в сумме они дают такую поразительную комбинацию!

ЗАДАЧА О РОСТОВЩИКЕ П редставителю знаменитой швейцарской династии математиков Якобу Бернулли принадлежит идея следующей задачи.

Некий ростовщик дал взаймы купцу определённую сумму денег с условием, что через год тот вернёт заём в двукратном размере. Когда купец в следующий раз обратился к нему с просьбой дать денег, ростовщик изменил условия договора: за первые полгода подлежащая возврату сумма возрастёт в полтора раза, а по истечении второй половины срока вновь образованная сумма займа в 9/4 раза, что, безусловно, выгоднее двукратного увеличения.

Постепенно в голове ростовщика сложился ещё более хитрый план: сумму, подлежащую возврату, увеличивать непрерывно. А именно: весь срок, на который купцу одалживаются деньги, разделить на большое число п равных промежутков. По истечении каждого промежутка сумма долга должна возрастать в 1 + 1/п раз. Так что к окончанию срока первоначальный заём увеличится в (1 + 1/п)п раз. «Наверное, это очень большое число», - подумал ростовщик.

Когда эту формулу вывел для себя купец, он рассуждал так: «С одной стороны, показатель степени п, увеличиваясь, тянет за собой в бесконечность всю степень, поскольку основание её, 1 + 1/ п, больше единицы. Казалось бы, непрерывное приращение долга в конце концов выльется в колоссальную денежную сумму – сверхприбыль для ростовщика и соответственно сверхубыток для меня. Но, с другой стороны хотя основание 1 + 1/ п и больше единицы, с увеличением п оно всё стремительнее к ней приближается. А эту упрямую цифру в какую степень ни возводи, всё равно лишь единицу получишь…».

На самом деле выражение (1 + 1/п)п с ростом п стремится к числу е = 2,718281828459045…, называемому также эйлеровым числом. Это одна из самых замечательных математических констант, основание натурального логарифма.

Первые знаки числа е запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого – два раза сорок пять, девяносто, сорок пять. Великое отношение

За много веков до нашей эры люди научились украшать дворцы высокими колоннами, вытачивать шары из камня; интересовались объёмом сосудов цилиндрической формы, длиной окружности колеса и т. д. Употребление круглых тел заставляло людей искать ответа на вопрос: как определить длину окружности, площадь круга, объём шара? А поиски ответа на этот вопрос привели их к необходимости знать отношение длины окружности к диаметру.

Вавилоняне (около 4000 лет назад) принимали на практике это отношение равным 3, хотя знали, что оно больше 3.

Древние египтяне (около 3500 лет назад) вычисляли площадь круга с точностью, которая соответствует значению π = 3,16; римляне принимали число π = 3,12

Первое определение отношения было получено великим математиком древности Архимедом (ỈỈỈ в. До н.э.). Он нашёл, что

Индийцы ( v в. н. э.) нашли для π значение 3.1416.

Китайский математик Цзу Чун – Чжи ( v в. н. э.) получил π значение, дающее семь верных знаков в десятичной дроби. В Европе такая степень точности была достигнута через 1100 лет голландским математиком Мецием.

Узбекский учёный xv в. ал – Каши в сочинении об измерении длины окружности вычислил периметры вписанного и описанного многоугольников с 800335168 сторонами (пользуясь формулой удвоения). Каждое вычисление он сопровождал проверкой в десятичной и шестидесятичной системах счисления. В итоге огромного труда он получил для π 17 верных знаков.

     2 π = 6,2831853071795865.
  

Такая степень точности удовлетворяет любимым самым высоким требованиям науки и практики. В Европе этот результат был превзойдён лишь через 180 лет голландцем Ван – Цейлоном.

Символ π для обозначения отношения длины окружности к диаметру впервые встречается в 1706 г. в сочинении английского математика Джонса, но в широкое употребление введён знаменитым русским академиком Леонардом Эйлером (1707 – 1783). Материал для самостоятельной работы.

Подготовить материал «тайны мира чисел»


Занятие 6

Цели:

раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах. Познакомить с числом Апокалипсиса.

Число Апокалипсиса. Магия и суеверия чисел.

ШЕСТЬСОТ ШЕСТЬДЕСЯТ ШЕСТЬ Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть. откровение Иоанна Богослова (Апокалипсиса)

В "Войне и мире" Л.Н. Толстого есть эпизод, когда Пьер счёл "цифирный вес" Наполеона равным числу зверя- 666, подогнал написание своего имени под такой же, увидел в том знамени и решился идти убивать Бонапарта. Не поленитесь перепроверить арифметику Пьера - возможно, это подскажет причину его неудачи. Число же и в самом деле необычное. Вот лишь некоторые из его удивительных арифметических свойств: - число зверя есть сумма квадратов первых семи простых: 666=22+32+52+72+112+132+172; - число зверя есть сумма первых 36 натуральных: 666= - число зверя есть разность и сумма шестых степеней первых трёх натуральных: 666=16 - 26+36; -число зверя можно записать девятью цифрами двумя способами в их возрастающем порядке и лишь одним - в убывающем порядке: 666=1+2+3+4+567+89=123+456+78+9, 666=9+87+6+543+21 Число вида 2 ,содержащее в своей записи число 666, называется апокалипсическим, а число, имеющее в своей записи ровно 666 знаков, - числом Апокалипсиса. Я расскажу вам ещё об одном числе, правда, не таком полезном, как названные, но не менее популярном. Это число Шахиризады - число 1001, которое фигурирует в заглавии бессмертных сказок "Тысяча и одна ночь". С точки зрения математики число 1001 обладает целым рядом интереснейших свойств: 1)это самое маленькое натуральное четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел:1001=103+13; 2)число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001=13. 77); или из 91 числа 11, или из 143 семёрок (вспомним, что число 7 считалось магическим числом); далее, если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 - количество ночей в течение 1+ 1+ + года или по- другому: 1001= 52 . 7 +26 . 7+13 . 7. Частичная сумма 1+ + является частью довольно часто встречаемого в арифметике бесконечного ряда 1+ + +...+  ; таким образом мы видим, как в числе Шахерезады литература переплетается с математикой. Археолог. В одной из египетских пирамид учёные обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. Трудно сказать, за что выпала такая честь этому числу. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Приписывание числам таких свойств не избежал даже древнегреческий математик Никомах, живший в конце I века н.э., автор знаменитой книги "Введение в арифметику". Он полагал, что "... единица есть разум, добро, гармония, счастье и в то же время материя, тьма, хаос; она соединяет в себе чётное с нечётным и женское с мужским. Два есть начало неравенства, противоречия; оно есть мнение, ибо во мнении встречаются истина с ложью. Три есть первое настоящее число, так как оно имеет начало, середину и конец и потому есть число совершенное." У многих народов больше всего суеверий возникло с числами три, семь и тринадцать. Суеверия, связанные с числом три, относятся к тому времени, когда у древних людей счёт не доходил дальше трёх. На этой основе в христианской религии возведено в догму представление о пресвятой Троице - об едином Боге, выступающем в трёх лицах (ипостасях): Бога-отца, Бога-сына, Бога - духа святого. Сюда же относится и так называемое трёхпёрстное крестное знамение, якобы защищающее верующих от злых духов. Существует масса поверий, а также пословиц и поговорок, содержанием которых является число три, приносящее несчастье (третий не я), целый ряд других пословиц и поговорок (они приведены в тексте), которые говорят о том, что это число приносят счастье. Аналогично происхождение примет, пословиц и поговорок, связанных с число семь. В древнем Вавилоне люди наблюдали семь подвижных планет (от греч. "Планэтэс" - блуждающий), которые якобы вращаются вокруг Земли, а именно: Солнце, Луна, Марс, Меркурий, Юпитер, Венера и Сатурн. Вавилоняне обожествляли их и почитали как богов. С числом этих небесных тел, по-видимому, связано происхождение семидневной недели лунного месяца. Так как Луна на небосклоне видна в течение 28 суток, то этот период делился на четыре фазы по семь суток. Каждый седьмой день считался священным и объявлялся днём отдыха от труда, а планетам астрологи приписывали (да и теперь приписывают) особые свойства, которые оказывают влияние на судьбы людей. Поэтому число семь в древнем Вавилоне имело магическое значение. Для арабов, ассирийцев, евреев это число было клятвенным. В библии говорится о "семи духах божьих", "семи светильниках" и т.д.; "крепко, как семь" - клятва у французов. У русских: "у семи нянек дитя без глазу", "семь раз отмерь, один раз отрешь" и т.д. Всем известен панический страх перед числом тринадцать ("чёртовой дюжины"). Истоки этого поверья относятся к древним временам, когда у некоторых народов основанием системы счисления было число 12 (отсюда деление года на 12 месяцев, счёт дюжины и т.д.). Оно замыкало для них натуральный ряд, поэтому за числом 12 шло неизвестное, непостижимое число , а значит, опасное для "простых смертных". По их представлению, это число могло приносить только несчастье. В христианской религии тринадцать - несчастливое число - исходит от мифического Иуды - предателя. В связи с этим во многих гостиницах некоторых стран (Англия, США и др.) отсутствуют номера с числом 13, лифт не останавливается на тринадцатом этаже; нет маршрутов городского транспорта с номером 13 и т.д. Но эти суеверия, относящиеся к числу 13, у славян не имели места. В качестве примера можно привести такой факт. В древней Руси были возведены храмы с тринадцатью куполами - Первый Софийский в Новгороде, Полоцкая и Киевская София, однако несчастливыми они не считались.

Занятия для самостоятельной работы:

Приготовить презентацию о других интересных и суеверных числах. Собрать материал: пословицы и поговорки о числах (работа в творческих группах)


Занятие 7

Цели:

показать учащимся, как математически верно (используя числовую закономерность) определить стратегию игрока, при которой его шансы на выигрыш оказались бы наибольшими.

Математические фокусы

Математические фокусы – очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. В математических фокусах изящество математических построений соединяется с занимательностью. Если при изложении учебного, и не только, материала стремятся к большему раскрытию идеи, то здесь для достижения эффективности и занимательности, наоборот, как можно хитрее маскируют суть дела. Математические фокусы – это эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел и лишь облеченные в несколько экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность. Расскажем о некоторых фокусах, которые можно использовать при проведении внеклассного мероприятия. Сколько палочек в кулаке?

Для показа этого фокуса нужна коробочка с 20 палочками. Показывающий, повернувшись спиной к зрителю, просит его вытянуть из коробка несколько палочек (не больше 10) и положить в карман. Затем зритель пересчитывает оставшиеся в коробочке палочки. Допустим, их 14. Это число он «выписывает палочками» на столе следующим образом: единица изображается одной палочкой, положенной слева, а четверка – четырьмя палочками, положенными несколько правее. Эти пять палочек берутся из числа оставшихся в коробочке. После этого палочки, изображавшие число 14, тоже кладутся в карман. В заключение зритель вынимает из коробка ещё несколько палочек и зажимает их в кулаке. Показывающий поворачивается лицом к зрителям, высыпает палочки из коробка на стол и сразу называет число палочек, зажатых в кулаке. Объяснение: Чтобы получить ответ, нужно вычесть из девятки число палочек, рассыпанных на столе. Волшебная таблица – 1

    На плакате записаны сорок восьмизначных чисел. Зритель называет номер числа, а отгадывающий называет число, которое записано под этим номером.

1 11 235 831 8 71 897 39 2 11 235 831 9 81 909 987 3 21 347 189 10 91 011 23 4 31 459 437 11 2 246 066 5 41 561 785 12 12 358 314 6 51 673 033 13 22 460 662 7 61 785 381 14 32 572 910 … …

Объяснение: Эти числа записаны так. К номеру числа прибавьте 9, возьмите для получившегося числа обращенное. Это будет число миллионов. Дальше вычислите сумму цифр получившегося числа миллионов. Число единиц (только единиц) этой суммы даст число сотен тысяч. Чтобы найти число десятков тысяч, вычислите сумму двух последних цифр и возьмите опять только единицы этой суммы. Так же продолжайте и дальше. Угадайте зачеркнутую цифру Запишите любое трехзначное или четырехзначное число, состоящее из различных цифр. Написавший число имеет право, как угодно переставить цифры этого числа. Получится два числа: записанное вначале и получившееся из него после перестановки цифр. Меньшее из этих чисел предлагается вычесть из большего, в полученной разности зачеркнуть цифру одну цифру и вычислить сумму оставшихся. Эта сумма сообщается отгадывающему, и он говорит, какая цифра была вычеркнута. Объяснение: Чтобы узнать, какая цифра была вычеркнута, отгадывающий поступает так: названную ему сумму цифр он дополняет до ближайшего большего кратного 9 (9,18,27,36, и т.д.). Если сумма опять окажется кратной 9, то зачеркнутая цифра была 6 или 9. Остатки от деления числа и суммы его цифр на 9 равны. (У двух чисел, записанных одними и теми же цифрами, остатки от деления на 9 равны и разность этих чисел делится на 9 без остатка.) Чтобы найти вычеркнутую цифру, необходимо сумму оставшихся цифр до ближайшего числа, кратного 9. Угадывание возраста и даты рождения Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаёт лист вам. Вы поступаете так: из получившегося числа вычитаете 444 и разность разбиваете на грани справа налево по две цифры в каждой. Первая грань справа даст возраст, вторая – число и третья – порядковый номер месяца рождения. Объяснение: Пусть m – порядковый номер месяца рождения, t – число лет. Тогда: (((100m + t) • 2 + 8) • 5 + 4) • 10 – n + 4=10000m + 100t + n + 444. Волшебная таблица – 2 В этой таблице записаны все числа от 1 до 31. таблица эта отличается следующим «волшебным» свойством. Задумайте какое угодно число, не больше 31, и укажите, в каких столбцах этой таблицы находится задуманное вами число. Отгадчик, знающий устройство таблицы, сразу назовет это число. 5 4 3 2 1 16 8 4 2 1 17 9 5 3 3 18 10 6 6 5 19 11 7 7 7 20 12 12 10 9 21 13 13 11 11 22 14 14 14 13 23 15 15 15 15 25 25 21 19 19 26 26 22 22 21 27 27 23 23 23 29 20 29 27 27 30 30 30 30 29 31 31 31 31 16 8 4 2 1










Секрет разгадывания с виду прост: обратите внимание на цифры, написанные в самой нижней графе. Если вам скажут, что задуманное число находится во 2,3 и 5-м столбцах, считая справа, то сложите числа, стоящие в этих столбцах внизу, получите: 22(2+4+16). Это число и задумано. Объяснение: Для составления таблицы взяли числа 1,2,4,8,16 (20,21,22,23,24), сложением которых можно получить все числа от 1 до 31 (31 = 25 – 1). За каждым из них закреплён определённый столбец. Воспользовавшись этим свойством ряда степеней 2, мы помещаем каждое целое число в те столбы, в основании которых стоят степени двойки, в сумме составляющие это число. Так, 27 попадает в столбцы с основаниями 1,2,8,16. Теперь ясно, почему для угадывания достаточно сложить числа, стоящие внизу столбов. Замечание: Эту таблицу можно предлагать и без нижней строки, добавляя эту строку мысленно. Быстрое извлечение кубического корня Демонстрация фокуса с извлечением кубического корня начинается с того, что кого–нибудь из присутствующих просят взять любое простое от 1 до 100, возвести его в куб и сообщить в слух результат. После этого отгадчик мгновенно называет кубический корень из называемого числа. Объяснение: Для того чтобы показать этот фокус, нужно сначала выучить кубы чисел от 1 до 10:

13=1, 23=8, 33=27, 43=64, 53=125, 63=216, 73=343, 83=512, 93=729, 103=1000

При изучении этих равенств обнаруживается, что все цифры, на которые оканчиваются кубы, различны, причем во всех случаях, за исключением 3 и 3, а также 7 и 8, последняя цифра куба совпадает с числом, возводимым в куб. В исключительных же случаях последняя цифра куба равна разности между 10 и числом, возводимым в куб.

Покажем, как эти наблюдения используются для быстрого извлечения кубического корня. Пусть зритель назвал число 250 047. Последняя цифра этого числа 7, из чего следует, что последней цифрой кубического корня должна быть 3. Первую цифру кубического корня находим так: зачеркнём последние три цифры названного числа (независимо от количества его цифр) и рассмотрим цифры, стоящие впереди, - в нашем случае это 250. Число 250 располагается в таблице кубов между кубами шестёрки и семёрки. Меньшая из этих цифр – в нашем случае 6 – и будет первой цифрой кубического корня. Поэтому ответом будет 63.

Быстрое извлечение квадратного корня. Аналогично предыдущему фокусу, зритель называет квадрат числа от 1 до 100, а показывающий фокусы отгадывает исходное число.

Объяснение: Заметим, что 12=1 92=81 22=4 82=64 32=9 72=49 42=16 62=36 52=25

Цифра результата, стоящая в разряде десятков, устанавливается с помощью этих равенств. Пусть эта цифра есть а. Из равенств ясно, что цифра в разряде единиц не восстанавливается однозначно по последней цифре квадрата. Однако положение облегчается, если известно, что эта цифра больше или равна 5.

                                                                                 __ 2                               __ 2

Узнать это возможно, сравнив данный квадрат ах с числом а5. При

                                              __2

«угадывании» корня число а5 приходится вычислить устно, например,

          __2

пусть ах = 2209. Выясняем: 42‹ 22 ‹ 52, а значит, 4 десятка. 452 = 2025 ‹ 2209, так что корень больше 45, значит, цифра в разряде единиц больше 5. Поэтому

                             ___

она равна 7, то есть ах = 47. Топологические фокусы В некотором смысле слова топология - это наука, изучающая непрерывность. Тополог интересуется свойствами «предметов», которые наиболее устойчивы, то есть которые выдерживают деформацию, сжатия и растяжения. Значения топологии огромно, потому что благодаря ей можно решать самые разные проблемы. Одна из важнейших областей применения топологии – проектирование автострад и их пересечений. Например, на загруженном перекрёстке машины должны иметь возможность менять направление своего движения, не пересекая путь другим машинам. Свойство односторонности знаменитого листа Мёбиуса, с которого и началась топология, было использовано в технике: если при ременной передаче ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного. Хорошо известный «лист Мёбиуса», названный по имени Августа Мёбиуса, немецкого математика, впервые описавшего эту поверхность, используется для многих фокусов. В одном из них показывающий вручает зрителю три больших кольца, каждое из которых получилось путём склеивания концов длинной бумажной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сплетённых друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были соединены концы ленты перед склейкой. Первое кольцо получилось путём простого соединения концов ленты, без перекручивания. Второе кольцо (его и называют листом Мёбиуса) получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 1800. Одним из наиболее любопытных свойств этой поверхности, имеющей только одну сторону, является то, что разрезая ее вдоль посередине, мы получаем одно большое кольцо, если же разрезать его не посередине, а на расстоянии в одну треть ширины от края, то получается два кольца: одно большое и сцепленное с ним маленькое. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды, то есть на 3600. Теперь нетрудно объяснить следующий фокус с угадыванием числа. Вы предлагаете товарищу задумать какое-нибудь число от 1 до 31, затем даете ему картонную табличку, изображенную на рис. 3, и предлагаете, не показывая вам таблицу, сказать, в каких строчках имеется число. Как только он назовет номер строки, вы сейчас же называете задуманное число.

№1 1 2 3 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 №2 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 №3 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 №4 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 №5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Составлена эта таблица очень просто. В первой строке помещены все те числа (от 1 до 31), в двоичной записи которых на первом месте стоит единица (т.е. все нечетные числа). Во второй строке помещены те числа, в двоичном разложении которых на втором месте справа стоит единица. Число «три», например, которое в двоичной системе счисления записывается так: 11, помещено и в первую и во вторую строку, так как у него и первая справа, и вторая цифра – единицы. Так же построены и остальные строки. В последней пятой строке помещены все те числа (в пределах от 1 до 31), у которых на пятом месте двоичного разложения стоит единица, т.е. числа от16 до 31. Пусть, например, задумано число 29. Загадывающий видит это число в первой, третьей, четвертой и пятой строках. Назвав вам эти строки, он тем самым невольно указывает, что в двоичное разложение задуманного числа входят единицы первого, третьего, четвертого и пятого разрядов. Вы знаете, что единицами этих разрядов в двоичной системе счисления служат числа 1, 4, 8, и 16 (они выписаны в первом столбце каждой строки). Теперь легко восстановить почти мгновенно задуманное число: нужно только сложить в уме эти несколько небольших чисел, что и даст 29. Для выполнения следующего эффектного фокуса нужно научиться быстро, запоминать несколько двузначных чисел (т.е. количество цифр, соответствующее двум телефонным номерам; запомнить сразу два телефонных номера нетрудно, тем более что держать их в памяти придется всего несколько минут). Фокус состоит в следующем. Вы предлагаете товарищу нарисовать квадратик из 5 Х 5 клеток и расставить в его клетках произвольным образом крестики. Затем в течение полуминуты смотрите внимательно на квадрат и возвращаете его товарищу. Через пять минут вы беретесь нарисовать напамять расположение крестиков, и это вам удается сразу. Окружающим кажется, что это очень просто, но предложите любому в течение полуминуты запомнить расположение крестиков в квадрате: можете быть уверены, что никто этого не сможете сделать. В чем же секрет быстрого запоминания расположения крестиков на квадратной таблице? Легче всего разобрать это на примере. Пусть вам дали следующее расположение крестиков: Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х

Считайте, что крестики это – единицы, а пустые клетки – нули. Тогда на каждую строку можно смотреть как на число, записанное по двоичной системе. В нашем примере мы имеем следующие числа: 1100, 10110, 111, 11001, 1010 (нули, стоящие впереди единиц, пропущены). Прочитать эти числа легко, вот они: 1100 = 12, 10110 = 22, 111 = 7, 11001 = 25, 1010 = 10.


С игральными кубиками можно продемонстрировать ряд интересных фокусов и опытов. Все они основаны на строгих математических расчетах и часто поражают зрителей неожиданностью результатов, вызывают желание разобраться в их математической сущности. Приводим несколько фокусов с кубиками. Напоминаем, цифры от 1 до 6 на игральных кубиках расположены таким разом, что сумма чисел на противоположных гранях равна 7. На этой особенности кубиков основываются расчеты в фокусах и играх. 1. Сядьте спиной к столу. Пусть кто – нибудь из ребят бросит на стол кубик. Вы можете, не глядя на кубик, узнать, какое число выпало на его верхней грани. Попросите умножить это число на 2, к произведению прибавить 5, а сумму умножить на 5. Вам называют получившееся в результате число. В уме вы отнимаете от этого числа 25, а затем от разности отбрасываете 0. Число, которое после этого получится, и написано на верхней грани кубика. Допустим, что на кубике выпало число 4. Производим вычисления: 4Х2=8; 8+5=13; 13Х5=65; 65-25=40. После от числа 40 отбрасываем 0 и называем число на верхней грани кубика – 4. Если бросят на стол два кубика, то и в этом случае вы без ошибки можете сказать, какие числа выпали на их верхних гранях. Сначала вы просите произвести те же три действия с одним из кубиков. К результату вы просите прибавить число, выпавшее на другом кубике. Вам называют сумму, от которой вы отнимаете 25. две цифры остатка по отдельности соответствуют числам на верхних гранях кубиков. 2. попросите бросить на стол два кубика и сложить числа, которые выпали на их верхних гранях. Пусть к сумме прибавят число, написанное на той грани одного из кубиков, которой он прикасается к столу. Затем предложение снова бросить этот кубик и прибавить число, выпавшее теперь на его верхней грани. Итог вычислений нужно записать на бумаге. Вам он, конечно, неизвестен, но вы берётесь его угадать. Повернитесь лицом к столу, мельком взгляните на кубики, сложите в уме числа, написанные на верхних гранях, и к сумме прибавьте 7. Назовите результат своих вычислений. Это и будет число, записанное на бумаге. 3. один из игроков выходит из комнаты. В его отсутствие бросают три кубика и складывают выпавшие на них числа. Затем кубики переворачивают и складывают числа, оказавшиеся на противоположной стороне кубиков. Эту сумму прибавляют к первой. Затем кубики бросают еще раз и оставляют их открытыми. Сумму выпавших очков прибавляют к предыдущей. Отгадчик возвращается и, взглянув на кубики, называет получившееся число. Для этого он должен к сумме чисел, выпавших на лежащих кубиках, прибавить 21. (Например, если на кубиках числа 2, 5, и 1, то он называет число 29.) Материал для практической работы.

Подговорить материал «От  игры к  знаниям».
                                                        Занятие 8            

Цели: Рассмотреть секреты магии, используя формулы и свойства.

                   Магия в формулах  и свойствах.                                                

Во всех странах мира люди с давних времён играли в кости. Игра распространилась на столько, что христианской церкви пришлось издавать указы и постановления, запрещавшие игры. В XVll веке в Европе стали распространяются таблицы, в которых перечислялись возможное получение разного числа очков на двух или трёх костях. Математики стали анализировать комбинации, наиболее полно сделали это Галилей, Паскаль и Ферма. В 1653 году Паскаль писал друзьям о подготовленной им рукописи; однако его опубликовали лишь посмертно в1665 г. Рукописи Галилея увидели свет только в 1718 г. Систематическое изложение формул было впервые опубликовано в 1665 году Г. Лейбницем; в 1713 г. Появилась книга Я. Бернулли “Искусство”

Как составить расписание турнира?

Предположим, в спортивном соревновании участвуют N команд и для выявления победителя каждая из них должна сыграть по одной игре с каждой другой командой. Желательно составить расписание турнира так, чтобы у команд не было лишних « простоев « . И в этом нам поможет теория сравнений .

Договоримся считать число N четным. Если это не так, то добавим одну фиктивную команду – « игра «  с ней будет приравниваться для кого к вынужденному, а для кого к заслуженному отдыху. Каждой команде присвоим номер в турнирной таблице: х. = 1, 2,…, N - 1 , N .

Рассмотрим первые N - 1 команд. В качестве партнера команды с номером х. назначим в r - м туре ( у = 1, 2,…, - 1) команду с номером у, удовлетворяющим условиям. Совпадение номеров х и у при выполнении сравнения х. + у = возможно только в том случае . В таком случае для команды х. в качестве партнера назначим команду с номером N . Так будут выполнены все необходимые турнира: 1.В одном туре разные команды имеют партнеров. 2.Любая команда в разных турах играет с разными партнерами. 3.По завершении N -1 тура каждая команда играет с каждой.

Вот так выглядит турнирная таблица участников. гх 1 2 3 4 5 6 1 5 4 6 2 1 3 2 6 5 4 3 2 1 3 2 1 5 6 3 4 4 3 6 1 5 4 2 5 4 3 2 1 6 5


2)Магические квадраты.

Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3 ×

Таким образом, чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, также по диагоналям были одинаковы и равны 15 (рис.6).полученный квадрат, также другие квадраты с теми же свойствами, магическими квадратами. Известно что, составлением магических квадратов увлекались в Древнем Китае несколько тысяч лет назад. Магического квадрата размером 2× 2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3×3 изображённый на рисунке 6. внешне отличные от него варианта квадрата 3×3 можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии рассмотренного квадрата (их квадрата 4, см.рис.7), либо поворотом на 90о вокруг центра квадрата (на рисунке 8–это точка О).

Задача 2. составить магический квадрат, полученный из квадрата, изображённого на рисунке 6: 1)зеркальным отражением клеток от горизонтальной оси симетр квадрата; 2)поворотом клеток на 90о вокруг его центра против часовой стрелки.

6 1 8 7 5 3

2	9	4
                                                                                       (А)    
 рис.6            
                                                                                                                                                                    


                                               Рис.7                                           рис.8
          

6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 9 4 7 5 3

6	1	8

6 1 8 7 3 2 9 4


  Рис.9                                                         рис.10                                                                                               
                                                    

8 3 4 1 9 6 7 2 16 3 2 13

 5	 10	 11	8
 9      	  6	   7	 12
  4	  15	 14	 1
 

1)На рисунке 9 показано, как из магического квадрата получается новый магический квадрат (после зеркального отражения числа в клетке записаны в привычном для прочтения виде ).

Рис.11 2)На рисунке 10 показано получение нового магического квадрата поворотом на 90 против часовой стрелки клеток данного квадрата вокруг его центра ( после этого числа в клетках записаны в привычном для прочтения виде ).С увеличением количества клеток растет число возможных магических квадратов. Например, число всевозможных магических квадратов размером ( с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговоренным правилам ) уже 880 число магических квадратов 5х5 более 200000. Пример магического квадрата размером 4х4 приведен на рис.11

3.Латинские квадраты

Латинскими квадратами называют квадраты размером н. х. н. клеток.

1 2 3 2 3 1 3 1 2 На рисунке 12 изображен латинский квадрат 3 х. 3 , а на Рисунке 13 , а изображены два латинских квадрата которые имеют особенность : если один наложить на другой ( например , второй квадрат сделать из прозрачной бумаги и наложить на первый ) то все на образовавшихся двузначных чисел ( рис.13,б) различными. Такие пары латинских квадрат называют ортогональными.

Задача .Составить латинский квадрат ортогональный квадрату, изображенному на рисунке 12. Решение: Запишем числа изображенного на рис.12 квадрата в левой половине клеток ( рис.14,а ) Допишем справа от них такие цифры что в клетках образовались всевозможные двузначные числа, составленные из цифр 1,2, и 3. Будем следить за тем , чтобы вторые цифры чисел в строках и столбцах не повторялись. Затем образуем квадрат из вторых цифр, полученных в клетках чисел

В китайской древней книге « Же – Ким « ( « Книга перестановок « ) приводится легенда о том , что император Ню , живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На ее панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков ( Если заменить каждую фигуру числом , показывающим, сколько в ней кружков , получится такая таблица : 4+3-/-8 =15. Тот же результат получится при сложении чисел второго, а также третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Мало этого , тот же ответ 15 получается , если сложить числа каждой из двух диагоналей : 4 - )-5 +6=8+5+2 =15.

Наверное , эту легенду китайцы придумали , когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством . Рисунок они назвали « ло – шу « и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу , составленную из чисел и обладающую таким свойством , называют магическим квадратом.

            l                                               ll
1	 2	 3 	 4
2	 1	  4	 3
3 	 4	 1	 2
4	 3	 2	 1
1	 2	 3 	 4
3	 4	 1	 2
4	 3	 2	 1
2	1  	 4 	 3

1 1 2 2 3 3 4 4 2 3 1 4 4 1 3 2 3 4 4 3 1 2 2 1 4 2 3 1 2 4 1 3

                             а)                                                                        б)     рис.13
                            

1 1 2 2 3 3 2 3 3 1 1 2 3 2 1 3 2 1

 1	 2 	 3
3	 1	 2
2	 3	 1
              а)                Рис.14                         


Каким же образом составляют магические квадраты? магический квадрат «ло-шу» можно найти, не прибегая к перебору одной за другой всех расстановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362 880).Будем рассуждать так, сумма всех чисел от 1 до 9 равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.значит,в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться 45: 3 = 15.Но если просуммировать все числа во вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центрального, которое войдёт четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х., то должно выполняться равенство 4-15=3х+3-15.отсюда х=5,то есть в центре таблицы должно стоять число 5.

Теперь заметим, что число 9 не может стоять в углу таблицы, скажем в левом верхнем. Ведь тогда в противоположном углу стояло бы число 1 , а на первые строку и столбец оставалась бы одна комбинация – числа 4 и 2. Значит , 9 стоит в середине каких – то крайних строк или столбцов ( у нас - в середине первой строки ). Двумя другими числами этой строки являются 4 и 2 , а третьим числом среднего столбца должно быть 15 – 9 – 5 = 1. В одной строке с 1 должны стоять числа 8 и 6. Тем самым магический квадрат почти заполнен и легко наживи место для оставшихся чисел. В результате получается квадрат « ло – шу « . Конечно, для 9 можно выбрать другие 3 места , а после выбора места для этого числа остаются две возможности для расположения чисел 4 и 2. Всего получается 4 – 2 = 8 различных магических квадратов из трех строк, и трех столбцов ( иди , как говорят математики, квадратов третьего порядка ) . Несложно написать и магический квадрат четвертого порядка: для этого запишем числа от 1 до 16 в квадрат по порядку. А теперь поменяем местами числа , стоящие в противоположных углах всего квадрата и внутреннего квадратика.

ФОРМУЛА ВЕЧНОГО КАЛЕНДАРЯ.

Какое, милые, у нас тысячелетье на дворе? Б.Пастернак

Можете ли вы ответить , на какой день недели придется день вашего рождения, скажем, через пять лет ? Это несложно вычислить. Тут , как и во многих других случаях, пригодится умение рассчитывать остатки. Мы приведем универсальную формулу, пригодную для определения дня недели любой даты в любом столетии. Пусть n– номер недели в следующем порядке: O–воскресенье, 1–понедельник,2–вторник,3–среда,4 –четверг,5–пятница,6–суббота;d–число месяца (дата);m–номер месяца, если начинать счёт с марта:1–март, 2–апрель… 12–февраль (такая нумерация помогает при выводе формулы устранить неудобство, связанное с переменным количеством дней в феврале).Далее, пусть у–это номер года в столетии, с–количество столетий с учётом того, что январь считается 11-м,а февраль–12-м месяцам предыдущего года.(К примеру, если речь идёт о 2000 г., то для даты, приходящийся на январь или февраль, следует считать у = 99, с=19,а для даты, приходящийся на другие месяцы,у=0,с=20.)

   В этих обозначениях формула для нахождения дня недели такова:n–остаток от   деления на 7 числа W,где
                W=d+  13 m-1                  (у)                       (с   )       –2с
                               5         +у        (  4 )    +      (4   )             
 

Скобки здесь обозначают так называемую целую часть числа, т.е.наибольшее целое число, не превосходящее данное число. Например,{3,4}=3,[3-14]=-4 {3}=3.

Защита творческих работ по теме «Тайны мира чисел»


Литература.

1.К.А. Малыгин Элементы историзма в преподавании математики в средней школе .Пособие для учителя . Издание второе, Москва: Просвещение 1963

2. Г.Н.Берман Число и наука о нем.Общедоступные очерки. Москва: Гос. издание технико – технической литературы 1954.

3. И. Депман. Мир чисел .Рассказы о математике. Ленинград «Детская литература» 1975.

4.Я.И. Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада – литера 1994.

5.Е.М.Мискин От игры к знаниям. Пособие для учителя. Москва: «Просвещение» 1987.

6. И.Я.Депман.Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов .Издательство«Просвещение» 1989.

7.Ф.Ф.НАгибин, Е.С. Канин. Математическая шкатулка. Москва: «Просвещение» 1988.

8.Е.В. Губанова. Элективный курс . Магические квадраты. Министерство образования Саратовской области 2005.

9.Е.Карпеченко Тайны чисел .Математика/ Прил. К газете «Первое сентября» №13 2007.

10.Т.Первушкина. Математические фокусы. Математика/ Прил. К газете «Первое сентября» №13 2007.

11.А.Н.Крылов.Числа и меры. Математика/ Прил. К газете «Первое сентября»№7 1994