Кривые - как траектории движения точек. Факеева Дарья. 9 а класс

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Одним из древнейших способов образования кривых является кинемати-ческий способ, при котором кривая получается как траектория движения точки. Кривая, которая получается как траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся без скольжения по прямой, по окружности или другой кривой, называется циклоидальной, что в переводе с греческого языка означает «кругообразная, напоминающая о круге».

Рассмотрим сначала случай, когда окружность катится по прямой. Кри-вая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся без скольжения по прямой, называется циклоидой. Пусть окружность радиуса R катится по прямой а. С — точка, закрепленная на окружности, в начальный мо-мент времени находящаяся в положении А (рис. 1).


Отложим на прямой а отрезок АВ, равный длине окружности, то есть АВ = 2πR. Разделим этот отрезок на 8 равных частей точками А1, А2, ..., А8 = В. Яс-но, что когда окружность, катясь по прямой а, сделает один оборот, то есть по-вернется на 360°, она займет положение (8), а точка С переместится из положе-ния А в положение В.

Если окружность сделает половину полного оборота, то есть повернется на 180°, она займет положение (4), а точка С переместится в самое верхнее по-ложение С4. Если окружность повернется на угол 45°, то окружность переместится в положение (1), а точка С переместится в положение С1. На рисунке 1 показаны также другие точки циклоиды, соответствующие оставшимся углам поворота окружности, кратным 45°. Соединяя плавной кривой построенные точки, получим участок циклои-ды, соответствующий одному полному обороту окружности. При следующих оборотах будут получаться такие же участки, то есть циклоида будет состоять из периодически повторяющегося участка, называемого аркой циклоиды. Пер-вым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564–1642). Он же при-думал и ее название. Циклоида обладает целым рядом замечательных свойств. Упомянем о некоторых из них.


Ледяная гора (брахистохрона)

В 1696 году И. Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наиско-рейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки, чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время (рис. 2,а). Искомую кривую назвали брахистохроной, то есть «кривой кратчайшего времени». Ясно, что кратчайшим путем из точки A в точку B является отрезок AB. Однако при таком прямолинейном движении скорость набирается медлен-но и затраченное на спуск время оказывается большим (рис. 2,б).


Скорость набирается тем быстрее, чем круче спуск. Однако при крутом спуске удлиняется путь по кривой и, тем самым, увеличивается время его про-хождения. Среди математиков, решавших эту задачу, были Г. Лейбниц, И. Нью-тон, Г. Лопиталь и Я. Бернулли. Они доказали, что искомой кривой является перевернутая циклоида (см. рис. 2,а). Методы, развитые этими учеными при ре-шении задачи о брахистохроне, положили начало новому направлению матема-тики — вариационному исчислению.

Часы с маятником (таутохрона)

Часы с обычным маятником не могут идти точно, поскольку период ко-лебаний маятника зависит от его амплитуды: чем больше амплитуда, тем боль-ше период. Голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629–1695) задался вопро-сом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Заметим, что в обычном маятнике кри-вой, по которой движется шарик, является окружность (рис. 3,а).

Искомой кривой оказалась перевернутая циклоида. Если, например, изго-товить желоб в форме перевернутой циклоиды и пустить по нему шарик, то пе-риод движения шарика под действием силы тяжести не будет зависеть от на-чального его положения и от амплитуды (рис. 3,б). За это свойство циклоиду называют также таутохрона — «кривая равных времен».

Гюйгенс изготовил две деревянные дощечки с краями в форме циклоиды, ограничивающие движение нити слева и справа (рис. 3,в). При этом сам шарик будет двигаться по перевернутой циклоиде и, таким образом, период его колебаний не будет зависеть от амплитуды.


Из этого свойства циклоиды, в частности, следует, что независимо от то-го, с какого места ледяной горки в форме перевернутой циклоиды мы начнем спуск, на весь путь до конечной точки мы затратим одно и то же время.