История появления систем счислений

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Тема работы

Многообразие систем счислений

Автор работы

ученик 9 класса Киреев Антон Владимирович

Руководитель проекта

Учитель информатики и ИКТ Алексашина Марина Викторовна

Цель работы

  • Познакомиться с многообразием систем счисления.

План проведения проекта

  • Изучить историю возникновения систем счисления.
  • Оценить достоинство и недостатки систем счисления.
  • Рассмотреть какие системы счисления используются сегодня и почему.

Информационная справка

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.


Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа. К ним относятся Египетская система счисления, Римская система счисления, Древнегреческая система счисления, Славянская система счисления

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции в записи числа. Позиция в числе называется разрядом. Примером таких систем являются десятичная, двоичная и т.д.

Непозиционные системы счисления

Египетская система счисления Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. (См. сводную таблицу обозначений чисел.) Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Римская система счисления


Римская система счисления Для записи чисел в римской системе счисления используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным.Напрмер, IV обозначает 4, VI—6, LX— 60, XC—90 и т.д. Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев. Древнегреческая система счисления


Древнегреческая система счисления Древнегреческая аттическая пятеричная В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции – Аттики со столицей Афины. В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок. Число 5 записывалось специальным знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков. Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000. Тоже очень красивая система записи чисел, но очень неудобная в выполнении вычислений. Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете – греческая малоазиатская колония Ионии). В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами древнегреческого алфавита. Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами. Кроме 24 букв классического греческого алфавита используются также две архаические буквы: для 6 – дигамма, напоминающая лат. F (позднее была заменена концевой сигмой σ), для 90 – коппа, похожая на лат. q, – а также, для 900, специфический значок сампи, возникший из сочетания букв сигма и пи (зафиксирован только в числовом значении). Хотя представляется, что возможности алфавитной нумерации в обозначении больших чисел ограничены, в работе «Исчисление песчинок» («Псаммит») Архимед разработал способ, который позволил бы выражать сколь угодно большие числа (даже число песчинок во всей Вселенной) посредством специальной, созданной по определенным правилам системы наименований десятичных разрядов. Ионийская система почти в неизменном виде перекочевала к славянам, алфавиты которых (кириллица и глаголица) созданы на основе греческого. Славянская система счисления


Славянская система счисления Современный русский алфавит значительно отличается от кириллицы. Как выглядели буквы кириллической азбуки, как назывались, как звучали? Чем "и десятеричное" отличается от "и восьмеричного"? Кроме того, славянские числа записывались в непривычном нам виде: не арабскими цифрами, а буквами той же самой кириллицы. Как же записать или прочесть число, обозначенное буквой? Интересно? Для того, чтобы не перепутать число и слово, над числом ставится титло. Где ставить титло? Есть два варианта: или титло расширяется и покрывает все число, либо ставится над второй справа буквой (если число обозначено двумя и более буквами). Славянская буквенная система счисления - система десятеричная, но не являющаяся позиционной; в ней каждому из разрядов числа соответствует свой знак - буква кириллицы. Нуля в этой системе нет. Число записывается как сумма своих сотен, десятков и единиц. В каком порядке пишутся буквы? Запомнить просто: как число произносится, так оно и записывается. Вслушайтесь в названия чисел второго десятка, от 11 до 19: один-на-дцать, две-на-дцать, три-на-дцать..., т. е. один-на-десять, два-на-десять и т. д. И записывается число второго десятка соответственно: сперва буква, означающая единицы, ну, например "веди" для двойки, а за ней "и десятеричное", "i" в качестве десятки. Для всех остальных чисел, например,"тридцать три", "двести восемьдесят пять" - порядок общий: сотни, потом десятки, затем единицы. Если же требуется записать число, содержащее тысячи (например, для указания номера года от Рождества Христова или от Сотворения мира), то к буквам, обычно означающим единицы, добавляется подстрочный знак, указывающий на увеличение в тысячу раз.


Позиционные системы счисления

Двоичная система счисления В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Десятичная система счисления Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В данной системе счисления 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Пример: 33310 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3=3*102 +3*101+3*100

Восьмеричная система счисления В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). 3338 =3*82 +3*81+3*80

Шестнадцатеричная система счисления Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). 33316=3*162 +3*161+3*160

Двенадцатеричная система счисления Позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Двенадцатеричная система счисления возникла в древнем Шумере. Предполагается, что такая система возникала исходя из количества фаланг пальцев на руке при подсчёте их большим пальцем той же руки. Фаланги пальцев использовались как простейшие счёты (текущее состояние счёта засекалось большим пальцем), вместо загибания пальцев, принятого в европейской цивилизации. Некоторые народы Нигерии и Тибета используют двенадцатеричную систему счисления в настоящее время. Двенадцатые доли часто встречались и в европейских системах мер. У римлян стандартной дробью была унция (1/12). 1 английский пенс = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута и т. д. Переход на двенадцатеричную систему счисления предлагался неоднократно. В XVII веке её сторонником был знаменитый французский естествоиспытатель Бюффон. Вольтер в «Истории Карла XII» утверждает, что этот монарх готовил указ о переходе на двенадцатеричную систему. Во времена Великой французской революции была учреждена «Революционная комиссия по весам и мерам», которая длительный период рассматривала подобный проект, однако усилиями Лагранжа и других противников реформы дело удалось свернуть. В 1944 году было организовано «Двенадцатеричное общество Америки» (The Duodecimal Society of America), объединившее активных сторонников одноимённой системы счисления. Однако, главным аргументом против этого всегда служили огромные затраты и неизбежная путаница при переходе. Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами. Первые три степени числа 12 имеют собственные названия:

Вывод

Итак, мы выяснили, что во всех народов использовалась система счисления своя или заимствованная у других. Недостатками непозиционных систем счисления являются неудобство выполнения арифметических и логических операций и трудности при записи и восприятии больших чисел.

Главным преимуществом позиционных систем счисления по сравнению с непозиционными является удобство представления чисел и простота выполнения арифметических и логических операций.

Недостатком позиционных систем счисления является наличие межразрядных связей (переносов и заемов) при выполнении арифметических операций над числами, то есть невозможность выполнения арифметических операций как поразрядных (когда результат операции не зависит от ее результата в остальных разрядах). Несмотря на некоторые недостатки использование позиционных систем счисления в наши дни наиболее актуально. Огромное количество различной информации, развитие техники, множество новых устройств… Чтобы описать всё это необходима система счисления с очень мощным алфавитом и чтобы её использовать необходимо держать в памяти очень много дополнительной информации. Ну а чтобы производить различные математические действия необходимо ещё и много дополнительного времени, а им, к сожалению, современный человек не располагает. Ведь даже компьютер использует всего две цифры, а человеку на сегодняшний день достаточно 10. Таким образом, наша гипотеза подтвердилась.

= Полезные ссылки

Проект на тему Системы Счислений