Животова Елена Викторовна - учитель математики МОУ "Гимназия №8" г.Энгельса

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Статья в журнал

Животова Е. В., лингвистическая гимназия №8                                                     Г.Энгельс. Саратовской области.


Еще раз о комбинаторике или «Почему все из ларца, одинаковы с лица?..»

Знакомый вопрос из детской сказки «Вовка в тридевятом царстве». Попробуйте дать несколько ответов. Думаю, что получился один ответ: «Они все – близнецы». Вы совершенно правы, указывая на физические сходства этих людей. Можно считать близнецов внешне неразличимыми похожими людьми. А если все из ларца не близнецы, не похожи друг на друга, разного возраста, пола, национальности, могут ли они быть одинаковы с лица? Уверена, вы ответили: «Нет». В этом случае все люди различимые. Однако ответы на эти вопросы не всегда так однозначны. Вспомните, что делали те двое из ларца в сказке. Один дрова колол, другой тесто месил. Они выполняли разную работу, и результат их деятельности был различен, поэтому считать их неразличимыми с этой точки зрения нельзя. Возникают и обратные ситуации, когда внешне различимые предметы приобретают свойство неразличимости, если порядок их следования не важен. Проблема неоднозначности различимости и неразличимости «предметов» известна в математике давно. Связана она с вычислением количества комбинаций элементов некоторых множеств в комбинаторике. В этой статье я опишу, как возникает эта проблема, как можно ее решить с учащимися пятых – шестых классов, обучающихся по учебнику Н. Я. Виленкина «Математика 5» и «Математика 6». В учебники включены задачи на нахождение наибольшего числа комбинаций элементов некоторых множеств. Часть задач, вошедших в учебник пятого класса, сопровождаются решениями. Авторы предлагают детям различные приемы решения: перебор, граф, правило произведения, вводится понятие «факториал натурального числа». Во всех этих задачах «предметы»: цифры, чашки, бусинки, люди, дорожки и т. д. различимы, и у учеников не возникает особых трудностей нахождения наибольшего числа комбинаций. При решении задачи № 1750 на вычисление количества комбинаций выбора из семи ребят троих для участия в соревнованиях по плаванию, учащиеся сталкиваются с проблемой упорядочивания спортсменов по списку. Обычно пятиклассники не видят и не понимают причину уменьшения количества комбинаций, ведь участники соревнований, по их мнению, различимы, как в других задачах. Значит в этой задаче «все из ларца одинаковы с лица».

	Не зная формулы сочетаний,  учащимся пятых классов  не просто придти к правильному решению.   Дети  только перебором находят  необходимое количество комбинаций (их 35).  В учебнике для 6 класса число таких задач  увеличивается. 

Приведу пример одной из них. №232. Из двенадцати лучших бегунов шестого класса нужно отобрать четырех для участия в эстафете. Сколькими способами можно составить такую команду? Сколькими способами четыре члена команды могут распределить между собой этапы эстафеты? Отвечая на первый вопрос, обычно представляют такое решение: 12 11 10 9 = 11880(способов), не замечая, что порядок выбора «предметов» - бегунов «не важен», поэтому наибольшее количество комбинаций в 24 раза меньше общего количества размещений (их 495). И в этом случае «все из ларца одинаковы с лица».

Отвечая на второй вопрос, учащиеся успешно справляются с вычислением количества  комбинаций распределения членов команды на этапы эстафеты. Даже, если  ученик шестого класса  представит себе этот эксперимент и  сможет выявить неразличимость четырех физически разных ребят,  перебрать   495 способов ему будет очень сложно.     
 	 Успешно овладев основными методами решения комбинаторных задач в 5 классе, ученики не всегда могут  найти верное решение некоторых задач. Эта проблема  усугубляется  при изучении  комбинаторики в последующих, старших классах, когда задачи еще более усложняются. Поэтому понятия «различимость» и «неразличимость» предметов нужно формировать у детей  на начальном этапе изучения комбинаторики, еще в пятом классе.  Возникает закономерный вопрос: «Как преподнести ребятам пятого, шестого класса этот непростой материал?» 

Известно, что у ребят этого возраста в основном преобладает наглядно – образное мышление, логическое мышление только начинает формироваться. Кроме этого среди детей 5-6 класса наблюдается немалый процент учащихся с доминирующей кинестетической модальностью восприятия информации. Как правило, эти дети хуже всего воспринимают учебный материал, так как процесс усвоения информации для них связан с моторно-сенсорной деятельностью. Аудиалы и визуалы в основном успешно адаптируются к различным видам учебной деятельности. Я свою работу строю на основе элементарного экспериментирования и анализе полученных результатов. 1. Провожу с детьми экспериментально – исследовательскую работу по выявлению закономерностей количества комбинаций различных предметов. 2. Затем организую проверку установленных закономерностей в других опытах, чтобы ребята удостоверились в правильности выдвинутых ими гипотез. 3. Перехожу к решению комбинаторных задач; побуждаю детей выбирать способы решения, устанавливая связь условий задач с моделями.



Схема построения экспериментально – исследовательской работы 



В качестве предметов предлагаю детям шары разного цвета, размера, сделанные из различных материалов, пронумерованные, непронумерованные.

Первый эксперимент. Задача. Вычислить количество комбинаций размещения различных на пронумерованные места.

Количество шаров и мест размещений одинаково. Использую свои модели перестановок,  которые состоят из двух, трех, четырехместных пеналов. Дети в группах переставляют шары в ячейках, фиксируя комбинации и их количество. Для каждой группы определяю число шаров и мест. (Например, три шара разного цвета на три места.)  Количества этих комбинаций ребята вычисляют с помощью перебора, графов. Демонстрируя полученные результаты детей в группах, устанавливаем, в классе,  как можно по-другому найти наибольшее количество комбинаций перестановок различных элементов. Выдвигается гипотеза о произведении количества комбинаций шаров на каждое место.  Заостряю внимание детей, что в этом эксперименте все предметы различимы (по разным признакам). 
Убеждаемся, что найденный детьми способ нахождения наибольшего количества комбинаций «работает» в других ситуациях.

Опыт №2. Предлагаю детям найти наибольшее число комбинаций пронумерованных разными числами шаров на непронумерованные места. Шары одинакового цвета, размера, сделаны из одного и того материала (кости). Опытным путем дети устанавливают ту же закономерность, что в предыдущем опыте. И в этом эксперименте все предметы различимы (по номерам, находящимся на них). Справедливо замечание детей, что в этих двух экспериментах шары переставлялись одинаковым образом – в ряд. Поэтому гипотеза, по их мнению, получила свое подтверждение. Тогда предлагаю им третий эксперимент по нахождению наибольшего числа комбинаций шаров в ячейки, расположенные в плоскостях ящика с квадратным дном и круглой модели. В ходе этого эксперимента дети не могут установить связь подтверждения гипотезы со способом перестановки. Значит, гипотеза о нахождении набольшего количества комбинаций перестановок различимых предметов верна. Кроме этого в представленных опытах исследуем количество комбинаций шаров, если шары в них могут повторяться. Так дети сами формулируют правило произведения. Мне остается только ввести понятие «факториал натурального числа». Составляем с ребятами таблицу «Факториал натурального числа». Модели перестановок легко трансформировать в модели разного количества ячеек, если соединить их небольшим замком. Кроме шаров я использую цветные магниты разного размера, цвета, пронумерованные, представляя детям их, как модели шаров. С ними удобно работать как на магнитной доске, так и на местах ребятам. (Приобрести круглые магниты может каждый учитель и ученик) Перехожу к решению задач из учебника на нахождение наибольшего количества комбинаций «предметов», если число «предметов» и мест одинаково (№ 694, 807, 835, 1071, 1728 и другие). Расширяю круг этих задач, объединяя их в блок № 1 по теме «Перестановки». Провожу самостоятельную работу. Затем предлагаю ребятам другую серию опытов. Опыт № 4. Найти наибольшее число комбинаций из различных шаров, если количество мест и шаров неодинаково. Места пронумерованы.

Использую свои модели размещения. Они отличаются от моделей перестановок наличием отдела для шаров и пазами для указания количества мест. Для того чтобы шары находились устойчиво в отделе, их закрепляю фиксатором.  

Опираясь на выявленные закономерности в предыдущих экспериментах, дети без труда выдвигают гипотезу о нахождении наибольшего числа комбинаций различных шаров, если их число больше, чем мест. Проверку гипотезы осуществляем на размещении пронумерованных шаров на непронумерованные места (опыт № 5), а также на размещении шаров по кругу и в плоскости ящика с квадратным дном. Так же, как и в предыдущем случае, исследуем количество комбинаций шаров, если шары в них могут повторяться.

Обращаю внимание, что во всех этих опытах «предметы» различимы, наибольшее число комбинаций удобно находить с помощью правила произведения, зависит оно от количества мест и «предметов». После этого перехожу к решению задач на нахождение наибольшего количества комбинаций «предметов», если их число больше, чем число мест (№ 11, 12, 96, 132, 283, 323, 356, 388, 432, 441 и другие). Расширяю круг этих задач, объединяя их в блок № 2 по теме «Размещения». Если решение задачи вызывает затруднения, прибегаю к ее моделированию с помощью магнитов или шаров. При решении задач ученики используют таблицу «Факториал натурального числа».


Сильным учащимся предлагаю выдвинуть и проверить гипотезу о нахождении наибольшего числа комбинаций из шаров, в число которых входит группа одинаковых шаров (по цвету, размеру, материалу изготовления, непронумерованных, или пронумерованных одинаково). Результаты этих исследований и гипотезы обсуждаем на уроке – диспуте. Главная задача учителя - подвести ребят к правильному выводу об уменьшении количества комбинаций и правиле его нахождения (правилу деления). В результате убеждаемся, что наибольшее количество комбинаций отличается от результатов предыдущих опытов в « число раз, равное факториалу числа группы неразличимых предметов». Этот факт демонстрирую сначала на моделях перестановок и размещений с небольшим числом ячеек. Затем предлагаю ребятам задачи на вычисление наибольшего количество комбинаций из «предметов», в число которых входит группа неразличимых «предметов». Так формируются понятия «различимые» и «неразличимые» предметы, основываясь на физических свойствах предметов. На этом изучение комбинаторики в 5 классе заканчиваю.



В 6 классе систематизирую знания детей и предлагаю новые виды экспериментов – выборку шаров из непрозрачного черного ящика. Опыт № 6. В ящике находятся шары разного цвета. Необходимо выбрать из него наугад некоторое число шаров, расположив их по одному в пронумерованные ячейки ящика с квадратным дном. Число выбираемых шаров определяю для каждой группы детей. Вычислить наибольшее количество комбинаций выбора шаров. В ходе обсуждения ребята выдвигают и проверяют гипотезу, что наибольшее количество комбинаций выбора шаров вычисляется с помощью правила произведения как в опытах № 1 - 5, так как шары различимы и порядок их размещения в пронумерованных ячейках «важен». Этот опыт отличаются только действием: выбором шаров. Опыт № 7. В ящике находятся неразличимые шары. Предлагаю выбрать наугад некоторое число шаров и найти наибольшее количество комбинаций из заданного числа шаров. Ребята убеждаются, что всегда получается одна и та же комбинация, ведь все шары неразличимы. Опыт № 8. Магнитодром. Самый интересный и любимый опыт детей. В железных коробках находятся «беспроводные устройства», создающие магнитное поле. Оно удерживает стальные предметы: шары различного диаметра, весом в 5, 20, 60, граммов, цилиндры разного радиуса основания весом 60, 100, 120 граммов. Из них можно делать немыслимые фантастические фигуры – магнитоэдры (так назвали их ребята). Предлагаю вычислить суммарный вес всевозможных комбинаций некоторого количества предметов.


Из черного ящика ребята выбирают группу различимых предметов сами, находят наибольшее количество комбинаций и вычисляют суммарный вес каждой комбинации. Дети быстро выясняют, что общий вес каждой комбинации из одной и той же группы различимых предметов не зависит от порядка размещения этих предметов. Учитывая результаты предыдущего опыта с неразличимыми предметами, предлагаю на обсуждение гипотезу: «Если порядок выбора или размещения предметов в комбинации не важен, то эти предметы – неразличимы. Значит, количество комбинаций необходимо находить с помощью правила деления». Проверку гипотезы осуществляем с помощью опыта «Свой, чужой карман». Опыт № 9. «Свой, чужой карман». На классной доске помещаю карманы с табличками «Свой», «Чужой» и муляжи различных монет достоинством в 1, 2, 5, 10 рублей. Беру три монеты достоинством в 1, 2, 5 рублей и кладу их в «свой» карман.

Всевозможные комбинации из всех этих различимых монет - 6, а сумма денег одинаковая - 8 рублей. Получили одну сумму денег в «своем» кармане, а не 6 различных сумм. Значит, порядок расположения монет в одном кармане не важен, следовательно, монеты, находящиеся в «своем» кармане неразличимы. Ситуация изменится, если эти же монеты положить в разные карманы.


Опыт повторяется с другими монетами.
Важно, чтобы дети наглядно увидели, как физически различимые предметы становятся неразличимыми, если порядок их следования в наборе неважен.  Определяем различимые предметы, как предметы, имеющие разные физические свойства,  пронумерованные разными числами,  порядок их выбора или размещения важен.

Неразличимые предметы – это предметы, обладающие одинаковыми физическими свойствами, непронумерованные, или пронумерованные одинаковыми числами, или порядок их выбора размещения неважен.

Обращаю внимание детей, что прежде, чем выбрать способ нахождения наибольшего количества комбинаций, необходимо выяснить:

1. Сколько предметов всего и сколько предметов выбирается или размещается. 2. Различимость предметов по физическим свойствам. 3. Важен ли порядок их выбора или размещения. Этот вопрос определяет выбор способов решения задачи. Далее переходим к решению задач из учебника на закрепление знаний по данной теме. Это №24, 53, 80, 81, 100, 137, 160, 232, 262, 293, 355, 410, 462, 517 и другие.

Такой подход позволяет добиться наиболее качественного усвоения учебного материала. Он связывает практическую деятельность детей с теоретической стороной. В этой ситуации усвоение материала детьми происходит эмпирически, от субъективного к объективному. Поиск путей решения поставленных задач охватывает всех детей с различными каналами восприятия информации, формирует не только стохастическую культуру у учащихся, но и личность ребенка. Стремление постигнуть «секреты комбинаторики» стимулирует рост интеллектуального, эмоционального развития ребенка, воспитывает в нем умение работать в группе, повышает значимость его в коллективе детей. Кроме этого по опыту знаю, что ценность такой работы еще в создании у детей хороших базовых знаний, которые определяют дальнейшую работу по формированию стохастической культуры в последующих классах. Все модели опытов придуманы и сделаны автором этой статьи.


Это мои модели размещений: круглая, прямоугольная и пластиковый ящик с квадратным дном. Номера ячеек в ящике можно менять (они на липучке и легко крепятся к тканевой основе дна). Тем самым увеличиваются способы размещения (по периметру, по углам, по диагоналям, треугольником и т. д.). Детям указываю в какие ячейки размещать предметы. На фотографии девочка размещает 4 шара разного цвета только в пронумерованные ячейки (размещение «углом»). Номера ячеек в прямоугольной модели стационарны. Сейчас вы видите размещение неразличимых стальных шаров на четные места с 1 по 18 ячейку.


В круглой модели ячейки не пронумерованы (при необходимости это можно сделать, прикрепив в центральной части модели номера в виде «телефонного диска»). Предметы размещаются по кругу. На фотографии – размещение пронумерованных шаров и шара, отличающихся от других цветом.

 Р.S. «Комбинаторика – любимая дочь математушки,»- так говорят мои пятиклассники о самом сложном разделе математики – комбинаторике. Заметьте, как с любовью, ласково они называют наш  серьезный предмет математику – математушкой. А огонек интереса и любви к математушке у детей  заставляет меня «примерять» на ее любимую дочь новые наряды, «сшитые своими руками». Уважаемые коллеги, если вы захотите узнать, как из маленькой девочки  комбинаторика превращается в красивую и изящную девушку, буду рада представить вам материал изучения этого раздела в последующих классах.