Дистанционный математический КВН 2010/Команда Убойная сила п.Горный

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Путешествие во времени

«Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы.

Но числа дают возможность человеку управлять миром,

и в этом нас убеждает весь ход развития

науки и техники наших дней. (А. Дородницын)

В прошлом было не мало открытий в области математики например

ТЕОРЕМА ФЕРМА – ЭЙЛЕРА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ КВАДРАТОВ ИЛИ ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА О ЧЕТЫРЁХ КВАДРАТАХ

О КОТОРЫХ И ПОЙДЁТ РЕЧЬ.

Пьер де Ферма
Леонард Эйлер

ТЕОРЕМА ФЕРМА – ЭЙЛЕРА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ КВАДРАТОВ

Быть может, потомство будет признательно мне

за то, что я показал ему, что Древние знали не всё.

Пьер Ферма

Лишь один математик удостоился того, что имя его стало нарицательным. Если произносится слово «ферматист», значит, речь идёт о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей. Но это слово ни в какой мере не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма (1601 – 1665), одному из самых светлых умов Франции.

Немного истории

Ферма – человек удивительной судьбы: один из величайших математиков всех времён, он не был, в современной терминологии, «Профессиональным» математиком. По профессии Ферма был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование и был выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17 лет был советником местного парламента в Тулузе. К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь (это иногда случается с людьми), и именно эта наука дала ему всё, что может дать человеку любовь: упоение красотой, наслаждение и счастье. В те годы не было ещё математических журналов, и ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но он много переписывался со своими современниками, и посредством этой переписки некоторые его достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми: сын обработал архив отца и издал его. «Я доказал много исключительно красивых теорем», – сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактов удалось ему обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал.

Теорема Ферма – Эйлера и рождение её доказательства.

В бумагах и в переписке Ферма было сформулировано немало замечательных утверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. И постепенно, год за годом таких недоказанных утверждений становилось всё меньше и меньше. И наконец осталось только одно. Хорошо известно, Что квадраты некоторых чисел можно разложить в сумму двух квадратов. Так египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 32+42=5. Можно описать все целочисленные решения уравнения x2+y2=z2. Это было сделано Диофантом, греческим математиком, жившим (вероятно) в III в. н. э., во второй книге его трактата «Арифметика» (До нас дошло 6 книг из 13). На полях около решения Диофанта Ферма написал: «Нельзя разложить куб на два куба, ни квадрато-квадрат (т. е. Четвёртую степень числа) на два квадрато-квадрата, ни вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Иначе говоря, уравнение xn+yn=zn при натуральном n>2 в натуральных числах неразрешимо. В бумагах Ферма было найдено доказательство этого утверждения для n = 4 (это единственное подробное доказательство теоремы из теории чисел, обнаруженное в бумагах Ферма). Для n = 3 теорему Ферма доказал Эйлер в 1768 году. В течение XIX века для доказательства теоремы Ферма были предприняты огромные усилия. Особенных успехов добился немецкий математик Куммер. После его работ теорема ферма оказалась доказанной для всех простых n (а доказать её достаточно только для них), меньших 100, кроме 37, 59, и 97. В XX веке теорема Ферма была доказана для простых чисел, меньших 100000, но окончательное решение так и не было найдено. В 1908 году любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это стало бедствием для математиков многих стран. Потекли сотни и тысячи писем с доказательствами теоремы Ферма. Как правило, они содержали элементарные ошибки, но на их нахождение тратились немалые силы многих математиков. Во время Первой мировой войны эта премия обесценилась. Поток псевдодоказательств сократился, но не иссяк. И уже казалось, что эта проблема перейдёт через новую грань веков, но всё-таки английский математик Уайлс «залатал последнюю дыру» в своём доказательстве этой великой теоремы, с которым он впервые предстал перед математическим миром в 1993 году. Мир признал: Великая теорема Ферма доказана! Однако тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит очень многое независимо от его Великой теоремы. Он был, без всякого сомнения, одним из самых проницательных умов своего времени – времени Гигантов. Его по праву считают основоположником теории чисел, он внёс огромный вклад в зарождающиеся новые направления, определившие последующее развитие науки: математический анализ и аналитическую геометрию. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности. Следующая теорема, несомненно, принадлежит к числу высших достижений математики XVII – XVIII веков. Взгляните на несколько первых нечётных простых чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5=22+12, 13=22+32, 17=12+42, а остальные числа (3, 7, 11, 19,) этим свойством не обладают. Можно ли объяснить этот феномен? Ответ на этот вопрос даёт значит,mp/2 также представляется в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Но m/2<m, а m, по предположению, минимальное число с таким свойством. Противоречие. Пусть m нечётно. Тогда числа ni можно представить в виде ni= qim+mi (qi, mi,∈ Z), причём |mi| <m/2. Тогда

Теорема. Для того чтобы нечётное число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1. На Рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке учёных того времени, о том что «всякое простое число, которое при делении на 4 даёт единицу, единственным способом представимо как сумма двух квадратов». В ту пору математических журналов ещё не существовало, информацией обменивались в письмах и как правило, результаты лишь анонсировались, но не сопровождались детальными доказательствами. Правда, спустя почти двадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе 1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства сформулированной выше теоремы. Он пишет , что основная идея доказательства состоит в методе спуска, позволяющем из предположения, что для какого-то простого числа вида 4n+1 заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа того же вида, и т. д., пока мы не доберёмся до числа 5, когда окончательно придём к противоречию. Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами. Причём, желая утвердить приоритет Ферма, к которому он испытывал чувства глубочайшего уважения, Эйлер придумал доказательство, соответствующие описанному выше замыслу Ферма. Воздавая должное обоим великим учёным, мы называем эту теорему теоремой Ферма – Эйлера. Есть свойство, присущее почти всякой неприступной и прекрасной горной вершине: его можно штурмовать с разных сторон и все пути доставляют наслаждение тому, кто не устрашиться им последовать. Существует несколько различных доказательств теоремы Ферма – Эйлера. Одно из них (принадлежащее Лагранжу) было придумано в XVIII веке.

Доказательство Лагранжа

Это доказательство опирается на следующую лемму Вильсона: если p --- простое число, то число (p-1)!+1 делится на p. Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрирую лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x, 2≤x≤11, найдется такое число y, 2≤y≤11, что xy при делении на 13 даёт в остатке 1, а значит, 12! При делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона. Из леммы Вильсона извлечём такое следствие: если p=4n+1, где n – натуральное число, то ((2n)!)2+1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки: (4n)!+1=(2n)! (2n+1)(2n+2)*…*(4n)+1=(2n)! (p-2n)(p-2n+1)*…*(p-1)+1=(2n)! (-1)2n(2n-p)(2n-1-p)*…*(1-p)+1≡ ≡((2n)!)2+1 (mod p).

Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2 ≡ –1 (mod p). Теперь нам предстоит преодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары целых чисел (m, s), такие что 0≤m≤[√p], 0≤s≤[√p], через [√p] обозначена целая часть числа √p – наибольшее целое число, не превосходящее √p. Число таких пар ([√p]+1)2>p. Значит, по крайней для двух различных пар (m1, s1) и (m2, s2) остатки от деления m1+Ns1 и m2+Ns2 на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m1-m2, b=s1-s2, будет делится на p. При этом |a|≤[√p], |b|≤[√p]. Но тогда число a2-N2b2=(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N2≡ – 1 (mod p), получим, что a2+b2 делится на p, т. е. а2+b2= rp, где r – натуральное число (r≠0, ибо иначе пары (m1, s1) и (m2, s2) были бы одинаковы). С другой стороны, a2+b2≤ 2[√p]2<2p, т. е. r=1, и значит, a2+b2=p. Теорема доказана. Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующем утверждением.

Утверждение: Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с чётными показателями.

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА ОЧЕТЫРЁХ КВАДРАТАХ

Эта теорема [о четырёх квадратах] до сих

пор входит в число величайших достижений

математики.

М. Кац, С. Улам

Кратко о Лагранже

Лагранж, Жозеф Луи

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813) родился в Турине, а умер и похоронен в Париже. В его жилах текла Французская и итальянская кровь, и поэтому обе нации могут гордится человеком, который (по словам Талейрана) сделал своим гением честь всему человечеству. По своим научным установкам Лагранж отличался от своего старшего великого современника – Леонарда Эйлера. Эйлер в течение своей жизни решал и решил огромнейшее, невиданное, ни с чем не сравнимое число отдельных, конкретных задач, и в большинстве своём каждую задачу он решал своим, особым, индивидуальным приёмом. Лагранж же старался отыскать общие закономерности у разнородных явлений, найти потаённые связи между отдельными объектами, вскрыть единство казалось бы несоединимого. Но при всём при том ему принадлежит также и множество замечательных конкретных результатов. Об одном из них – о представлении натуральных чисел в виде суммы четырёх квадратов – и будет сейчас рассказано. Лагранж остался в благодарной памяти всего человечества как светлая, благородная личность. Вот как характеризуют его Фурье: «Лагранж был столько же философ, сколько математик. Он доказал это своей жизнью, умеренностью желаний земных благ, глубокой преданностью общим интересам человечества, благородной простотой своих привычек, возвышенностью души и глубокой справедливостью в оценке трудов своих современников».

А теперь перейдём к формулировке и доказательству теоремы Лагранжа. Теорема. Всякое натуральное число есть сумма четырёх квадратов целых чисел. Доказательство. 1). Лемма. Произведение чисел, представимых в виде суммы четырёх квадратов, есть сумма четырех квадратов. === Доказательство леммы.=== 123456789987654321.jpg Лемма доказана. 2). Лемма 2 Для любого простого числа p > 2 найдётся число m ∈ N, m < p, так что mp = a2+ b22, a, b, c, ∈ Z. Докозательство леммы. Рассмотрим два множества чисел: 223456789987654321.jpg 323456789987654321.jpg В каждом из множеств числа попарно не сравнимы по модулю p. В самом деле, возьмём 423456789987654321.jpg из множества К (или, эквивалентно, 523456789987654321.jpgиз множества L), где 623456789987654321.jpg Если 723456789987654321.jpg (mod p), то (k1+ k2)×(k1 – k2) ≡ 0 (mod p). Но 0<k1+k2<p и 0< |k1 – k2| <p поскольку k1 <p/2, k2 <p/2 и k1 ≠ k2. Противоречие. Всего в этих двух множествах p+1 чисел, следовательно, среди них найдутся сравнимые по модулю p, т. е. такие числа x2 из первого множества и –1 –λ2 из второго, что x2 ≡ – 1 – λ2 (mod p). Откуда x2 + λ2 + 1 = mp для некоторого m ∈ N. Теперь, поскольку x<p/2 и λ<p/2, получаем mp = x2+ λ2+ 1<p/2/4+p2/4+1<p2, а значит, m<p. Лемма 2 доказана. 3). Докажем, что любое простое число представимо в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Для p = 2 имеем 2 =12+12+02+02. Для p>2, по предыдущей лемме, найдётся такое m<p, что число mp можно представить в виде 823456789987654321.jpg (n4 можно положить равным 0). Выберем теперь минимальное натуральное m, облодающее таким свойством. Покажем, что оно равно 1. Пусть m чётно. Тогда либо все ni имеют одинаковую чётность, либо среди них есть два чётных и два нечётных (нумерация этих чисел не важна, поэтому пусть n1 ≡ n2 (mod 2), а n3 ≡ n4 (mod 2)). В обоих случаях числа 923456789987654321.jpg являются целыми. Имеем: 1023456789987654321.jpgзначит,mp/2 также представляется в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Но m/2<m, а m, по предположению, минимальное число с таким свойством. Противоречие. Пусть m нечётно. Тогда числа ni можно представить в виде ni= qim+mi (qi, mi,∈ Z), причём |mi| <m/2. Тогда 1123456789987654321.jpg где s – некоторое целое число. Следовательно, 1223456789987654321.jpg где n – неотрицательное целое число. Если n = 0, то mi = 0, ni = qim для всех i, и тогда 1323456789987654321.jpg где k – натуральное, т. е. p = mk, m<p, а это означает, что m = 1. Предположим теперь, что n ≥ 1. Из леммы 1 получаем: 1423456789987654321.jpg По определению 1523456789987654321.jpg (mod m), и значит, s1/m∈ Z. Аналогично доказывается, что si/m∈ Z при i =2, 3, 4. Но тогда (в силу неравенств |mi| <m/2) получаем:1623456789987654321.jpg т. е. n<m, и в итоге 1723456789987654321.jpg откуда 1823456789987654321.jpg что противоречит минимальности m. Итак, ксякое простое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Тогда, по лемме 1, и любое составное число представимо в таком виде. Наконец, 1 = 12+02+02+02. Теорема доказана

В наши дни

В начале третьего тысячелетия мы отчетливо осознаем, что наш дом – Земля, теперь мы связаны не только всемирной паутиной, но и теми глобальными вызовами, которые брошены человечеству. Математика, будучи универсальным языком разума, фундаментом научного и технологического прогресса, переживает бурное развитие, переосмысливает свое место в мире и самые основные подходы к собственному развитию. Но, математика в своем движении, это не только и не столько математические парадигмы и результаты, сколько сами математики, их сообщества, математическое образование.

Сейчат тоже есть люди которые двигают эту науку вперёт

Артамонов Вячеслав Александрович:

19234567899876543231.jpg

Артамонов Вячеслав Александрович родился 2 октября 1946 г. в г. Туле. Поступил на механико-математический факультет МГУ (1963) и окончил его в 1968 г. Обучался в аспирантуре механико-математического факультета (1968-1970) под научным руководством профессора А.Г.Куроша.

Кандидат физико-математических наук (1971), доктор физико-математических наук (1990).

Тема кандидатской диссертации: "Подгруппы свободного произведения Г-операторных групп с регулярной группой операторов Г". Тема докторской диссертации: "Проективные модули, группы и алгебры Ли".

Работает на механико-математическом факультете с 1970 г. Доцент (1976-1996), а с 1996 г. профессор кафедры высшей алгебры.

Член Американского математического общества (1973). Член редколлегий журналов "Фундаментальная и прикладная математика" (МГУ), "Communications in Algebra" (США), "Discussiones Mathematicae, General Algebra and Applications" (Польша), "Алгебра и дискретная математика" (Украина), "Абелевы группы и модули" (Томский Гос. Ун-т), "Чебышевский сборник" (МГУ, МИРАН, Тульский Гос. Пед. Ун-т).

Награжден юбилейной медалью "850 лет г. Москвы".

Подготовил 12 кандидатов наук.

Опубликовал около 130 научных работ, в том числе 10 книг (из них 7 с соавторами) - см. список публикаций.

Область научных интересов: универсальная алгебра: классы алгебр (многообразия, квазимногообразия и т.д.), производные структуры (коммутаторы конгруэнций, группы автоморфизмов и т.д.), приложения универсальной алгебры к задаче генерации кодов и т.д. ассоциативные алгебры - некоммутативная алгебраическая геометрия: квантовые многочлены (= квантовые аффинные пространства), квантовые группы, действия алгебр Хопфа на квантовых многочленах, квантовые тела и математическая теория квазикристаллов.

Основные научные результаты: Получена классификация многообразий неассоциативных алгебр и групп, у которых решётка подмногообразий является цепью Доказана свободность проективных метабелевых групп и алгебр Ли. Доказано наличие проективных несвободных объектов в произведении нильпотентного и локально конечного многообразий групп. Доказана свободность проективных модулей ранга не меньше 2 над квантовых многочленами (квантовая гипотеза Серра). Получена классификация разрешимых групп и алгебр Ли, для которых все проективные модули над групповым кольцом или универсальной обертывающей алгеброй свободны. Дана общая конструкция свободного абелевого расширения в конгруэнц-модулярных многообразиях универсальных алгебр. В частности, эта конструкция используется для изучения свободных разрешимых алгебр любого класса в данном конгруэнц-модулярном многообразии алгебр. Недавние результаты относятся к изучению колец квантовых многочленов, их тел частных, автоморфизмов и действий алгебр Хопфа. В частности, изучались действия точечных конечномерных алгебр Хопфа на квантовых многочленах (= действия конечных квантовых групп на квантовых аффинных пространствах). Артамонов, Вячеслав Александрович является первооткрывателем Клонов полилинейных операций и мультиоператорных алгебр

Орлов, Александр Иванович

Орлов, Александр Иванович , р. 1949, профессор (1995 г. — по кафедре математической экономики), доктор технических наук (1992 г. — по применению математических методов), кандидат физико-математических наук (1976 г. — по теории вероятностей и математической статистике). Основное направление исследований — статистические методы, организационно-экономическое моделирование. Разработал новую область прикладной статистики — статистику объектов нечисловой природы.



Источники

Д. К. Самин «Сто великих научных открытий» Изд.: «Вече 2000» Лагранж, Жозеф Луи http://ru.wikipedia.org/wiki/Лагранж,_Жозеф_Луи Артамонов Вячеслав Александрович Орлов, Александр Иванович