Дистанционный математический КВН 2010/Команда Неравенства

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Великий учёный - Карл Фридрих Гаусс

"Не считать ничего сделанным, если ещё кое-что осталось сделать"

Гаусс

220px-Carl Friedrich Gauss.jpg Иоганн Карл Фридрих Гаусс (нем. Johann Carl Friedrich Gauss) (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) - великий немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён - родился в Брауншвейге - крупном городе в Северной Германии. Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Мать Гаусса была решительной женщиной с сильным характером, острым умом и изрядным чувством юмора. Карла, который был гордостью матери с рождения до её смерти в 97 лет, она родила в 35 лет. Последние 22 года она провела в доме сына.

Положительными сторонами творчества Гаусса являются во-первых, глубокая органическая связь в его исследованиях между теоретической и прикладной математикой, и во-вторых, необычайно широкий охват его творчества. Работы Гаусса оказали большое влияние на всё дальнейшее развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии.

Образование

С учителем К.Ф. Гауссу повезло - им был небезызвестный М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского), который оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу поступить и закончить колледж Collegium Carolinum в Брауншвейге, где он обучался с 1792 по 1795 годы.

С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете. Это наиболее плодотворный период в жизни Гаусса. 1796 год: Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида n = 2^2^k + 1 (числом Ферма). Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на его могиле правильный 17-угольник, вписанный в круг.

В колледже Гаусс изучил труды Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Уже там он сделал несколько открытий в высшей арифметике, в том числе доказал закон взаимности квадратичных вычетов. Лежандр, правда, открыл этот важнейший закон раньше, но строго доказать не сумел; Эйлеру это также не удалось. Кроме этого, Гаусс создал «метод наименьших квадратов» (тоже независимо открытый Лежандром) и начал исследования в области «нормального распределения ошибок».

Научные труды К.Ф. Гаусса

Надо сказать, что уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50 х 101 = 5050. В итоге до самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.

С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: алгебре, дифференциальной и неевклидовой геометрии, в математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, а также в астрономии, геодезии и механике. «В каждой области глубина проникновения в материал, смелость мысли и значительность результата были поражающими. Гаусса называли „королем математиков“» (Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука, 1978, том I, с.52.).

Строгость, внесённая Гауссом в анализ, постепенно распространилась на всю математику. Сам Гаусс говорил "Математика - царица наук, арифметика - царица математики". Самого Гаусса по праву называют Королём математики.

Арифметические исследования

"Арифметические исследования" (1801 год) - первое крупное сочинение Гаусса. Оно содержит вопросы теории чисел и высшей алгебры. Гаусс даёт здесь обстоятельную теорию квадратичных вычетов, конец книги содержит замечательную теорию уравнений деления круга (то есть уравнений x^n = 1), которая во многом была прообразом теории Гаусса. Наиболее интересным из этого наследия является дневник. Дневник содержит 146 записей, относящихся к периоду от 20 марта 1796 года, когда 19-летний Гаусс отметил открытие построения правильного 17-угольника, по 9 июля 1814 года ("Большая советская энциклопедия", под ред. Б.А. Введенский, 2 изд., Государственное научное издательство "Большая советская энциклопедия", с. 273-275).

Из множества важных и тонких результатов, приведенных в «Арифметических исследованиях», следует отметить подробную теорию квадратичных форм и первое доказательство квадратичного закона взаимности. В конце сочинения Гаусс приводит полную теорию уравнений деления круга и, указывая их связь с задачей построения правильных многоугольников, решает стоявшую с античных времен проблему о возможности построения циркулем и линейкой правильного многоугольника с заданным числом сторон. Гаусс указал все числа, при которых построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки возможно. Это пять так называемых гауссовых простых чисел: 3, 5, 17, 257 и 65337, а также умноженные на любую степень двойки произведения различных (не повторяющихся) гауссовых чисел. Например, построить с помощью циркуля и линейки правильный (3х5х17)-угольник можно, а правильный 7-угольник нельзя, так как семерка не гауссово простое число.

Разумеется, доказанный Гауссом результат — пример так называемой чистой теоремы существования; утверждается, что построить с помощью циркуля и линейки правильный многоугольник с «допустимым» числом сторон можно, но ничего не говорится о том, как это сделать. Карл Гаусс предложил также явный способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника. Это событие Гаусс посчитал столь значительным, что отметил его в «Дневнике» (запись от 30 марта 1796 ) и завещал высечь правильный 17-угольник на своем надгробии (воля Гаусса была исполнена).

Основная теорема алгебры

С именем Гаусса также связана основная теорема алгебры, согласно которой число корней многочлена (действительных и комплексных) равно степени многочлена (при подсчете числа корней кратный корень учитывается столько раз, какова его степень). Первое доказательство основной теоремы алгебры Гаусс дал в 1799, а позднее предложил еще несколько доказательств.

Построение правильного N-угольника

Ученый доказал, что правильный n-угольник, где n —число простое, может быть построен циркулем и линейкой в том, и только в том, случае, когда п имеет вид 22 + 1. Например, если k = О, 1, 2, 3, то правильные трех-, пяти-, семнадцати- и 257-угольники можно построить циркулем и линейкой, а семиугольник -нельзя. Еще древние математики (в их числе Архимед) умели строить циркулем и линейкой правильные n-угольники при п = 3, 4, 5, 6 и вообще при п = 2"; 2"*3; 2"*5; 2**15, и только такие. Ученые безуспешно пытались построить правильный семиугольник, девятиугольник. А Гаусс дал полное решение проблемы, над которой трудились ученые в течение 2 тыс. лет.

Правильный 17-угольник

Точное построение

  1. Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
  2. Проводим её диаметр AB.
  3. Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
  4. Отмечаем точку E — середину DO.
  5. Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
  6. Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
  7. Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
  8. Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
  9. Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
  10. Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
  11. Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N. Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
  12. Строим касательную к k₃ через N.

Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

Комлпексные (Гауссовы) числа

Подобно тому, как всю область действительных

величин можно представить с помощью бесконечной прямой,

можно себе представить область всех величин, действительных

и мнимых, с помощью бесконечной плоскости, где каждая точка,

определённая своей абсциссой a и своей ординатой b, представляет

в то же время величину a + ib

Гаусс

Формальное определение:

Уравнение с целыми коэффициентами
Решётка гауссовых чисел на комплексной плоскости

Относительно обычных для комплексных чисел операций сложения и умножения гауссовы целые числа образуют область целостности, которую обозначают Z[i]. Расширить её до упорядоченного кольца невозможно.

Каждое гауссово число <math>z=a+bi</math> удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами:

(z − a)² + b² = 0..

Поэтому гауссово число есть алгебраическое число. Из этого же уравнения видно, что гауссово число есть целое алгебраическое число.

Определим норму для гауссова числа a + bi:

Уравнение с целыми коэффициентами

Очевидно, норма равна нулю только для нуля. В остальных случаях норма — положительное число.

Норма обладает важным свойством мультипликативности:

Уравнение с целыми коэффициентами

Отсюда сразу следует, что обратимыми элементами кольца (делителями единицы) являются те элементы, у которых норма равна 1, то есть { 1; −1; i; −i }.

Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Ясно, что ассоциированность — отношение эквивалентности.

Формула определения даты Пасхи

Дата Пасхи высчитывается при помощи формулы Гаусса, основанной на Александрийской Пасхалии, и приходится на период с 4 апреля по 8 мая по новому стилю (22 марта - 25 апреля по старому стилю).

Александрийская Пасхалия

Полнолуние(Y) = 21 марта + [(19·[Y/19] + 15)/ 30].

где [a / b] - остаток от деления нацело a на b.

Если значение Полнолуние(Y)< 32, то дата полнолуния будет в марте;

Если значение Полнолуние(Y)>= 32, то следует вычесть 31 день, и получится дата в апреле.

Формула Гаусса

a = [(19 * [Y / 19] + 15) / 30], где Y - год, [] - остаток от деления;

b = [(2 * [Y / 4] + 4 * [Y / 7] + 6 * a + 6) / 7];

Если (a + b) > 10, то Пасха будет (a + b - 9) апреля ст. стиля, в противном случае - (22 + a + b) марта ст. стиля.

Еще проще высчитать дату Пасхи по формуле Гаусса можно, воспользовавшись буквами «а», «б», «в», «г», «д», каждая из которых равняется определенному значению.

а = остаток от деления числа года на 19;

б = остаток от деления числа года на 4;

в = остаток от деления числа года на 7;

г = остаток от деления на 30 выражения 19а + 15;

д = остаток от деления на 7 выражения 2б+4в+6г+6

Дата Пасхи зависит от значений «г» и «д». Если их сумма меньше 9, Пасха заданного года будет в марте по старому стилю, а ее день будет равен «22 + г + д». Если же «г + д» больше 9, Пасха будет апрельской, а дата ее празднования равна «г + д - 9». Нельзя забывать и о том, что все расчеты представлены по старому стилю. Чтобы определить дату Пасхи по Григорианскому календарю, к полученной цифре необходимо прибавить «13».

Высчитаем применительно к 2009 году. «а» = 14, «б» = 1, «в» = 0, «г» = 11, «д» = 4. «г+д» = 15. 15-9 = 6. 6 + 13 = 19 апреля.

От сроков Пасхи зависят сроки других праздников, числа которых меняются каждый год. Это переходящие праздники: Вознесение Христа - сороковой день после Пасхи, Троица (Пятидесятница) - пятидесятый день после Пасхи, День Святого Духа - следующий день после Троицы.


Культурное наследие

Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене. Кроме великого вклада в науку, Карл Фридрих Гаусс также выделился и после жизни. Великому учёному, математику, физику, астрологу и механику в одном лице установили памятник в Брауншвейге с изображенной на нём 17-лучевой звездой. При жизни Карл очень дорожил своим открытием в построении многоугольников, поэтому данный памятник оказался как нельзя кстати в плане геометрической идеи.

Памятник Гауссу в Брауншвейге с изображенной на нём 17-лучевой звездой

Памятник Гауссу в Брауншвейге с изображенной на нём 17-лучевой звездой

Источники