Геометрические и оптические свойства параболы

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Геометрические и оптические свойства параболы

Ris7.jpg

Цели работы:

1)Изучить геометрические свойства параболы

2)Найти применение к решению алгебраических, геометрических, и физических задач.



Кривые с древних времен привлекали к себе внимание ученых и использовались ими для описания различных природных явлений от траектории брошенного камня до орбит космических тел. В школьном курсе математики в качестве кривых рассматриваются графики функций. При этом основное внимание уделяется их аналитическим свойствам, возрастанию, убыванию и т. п. Геометрические же свойства кривых остаются в стороне. В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.

Определение Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.

Для того чтобы нарисовать параболу, потребуются линейка, уголь¬ник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикре¬пим один конец нити к фокусу, а другой - к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие каса¬лось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натяну¬той. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу. Ris8.gif


Осью параболы называется прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе.

Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.

Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не перпен-дикулярная ее директрисе, называется касательной к параболе.


Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом параболы, и расстояние до некоторой фиксированной прямой той же плоскости, называемой директрисой параболы, равны. Отрезок, соединяющий точку параболы с фокусом, называется фокальным радиусом точки праболы. Если парабола описывается каноническим уравнением y 2 = 2 px, то её фокус — точка F(p/2, 0), а директиса описывается уравнением x = − p/2: Ris13.gif


Применение параболы в физике, технике

Пусть мяч подбросили вертикально вверх с высоты 1,5 м, придав ему начальную скорость 10м/с. Тогда высота h (в м), на которой находится мяч, есть квадратичная функция времени полота t (в с). Если считать, что g =10 м/ , то функцию h= f(t) можно описать формулой h= 1,5+10t-5 . График этой функции - часть параболы, изображенной на рисунке 2.5. По графику видно, что мяч взлетел примерно на 6.5 м и после двух секунд полета упал на землю.

Ris14.jpg

  • Связь с космическим миромТраектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (нейтронной звезды, чёрной дыры или просто планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

Применение параболы в физике, технике, баллистике

Можно привести немало примеров применения квадратичной функции, из которых главный известный из учебника физики — уравнение пути s равномерно-переменного движения с начальной скоростью v, ускорением а и путем, пройденным до начала отсчета b : S=2at2+vt+b.

Множество траекторий полёта в однородном гравитационном поле без сопротивления воздуха какого либо объекта (мяча, артиллерийского снаряда) соответствует параболе.

Траектория полета баскетбольного мяча Ris20.jpg




Ris21.jpg Fipo.jpg

Используемые ресурсы

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B0_(%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0)

http://sys-tema.ru/index.jsp?pk=Postroenie-paraboly

http://prosto-obo-vsem.ru/tag/modeli-iz-bumagi/

http://www.cross-kpk.ru/ims/00908/file/temi/2-go%20por/Files/Istoria%20primen.htm