Арифметическая и теометрическая прогрессия

Материал из Saratov FIO Wiki
Перейти к: навигация, поиск
Аннотация к уроку Арифметическая и геометрическая прогрессии"

С помощью данного урока, вместе с учителем Чурляевой Н.С., мы совершаем путешествие в мир блочно-модульной технологии и узнаем много секретов об арифметической и геометрической прогрессиях. Данный урок содержит богатый материал по прогрессиям, много интересного исторического материала, различные задачи, с помощью которых еще раз убеждаешься как тесно свеязана математика с окружающим миром. и, решая различные задачи на прогрессии, становишься богаче, богаче знаниями.

Дополняет урок презентация, позволяющая не только хорошо усвоить материал, но и запомнить, сопоставить, проанализировать . Взяв в дорогу к знаниям арифметической и геометрической прогрессиям смекалку, внимание и трудолюбие обязательно.

"Познание, упорство и труд

К прогрессу жизни приведут"

Цель: познакомить учащихся с понятиями арифметической и геометрической прогрессиями, вывести основные формулы по заданной теме к решению задач; воспитывать интерес к предмету; дополнительной литературе; развивать у учащихся внимание на уроке,привлекать учащихся к активной познавательной работе на уроке.

План урока.

1.Организационный момент.

2.Определение прогрессий.

3.Формула n-ого члена прогрессии.

4.Формула суммы n первых членов.

5.Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

6.Решение задач по теме.

7.Обобщение.

8.Итоги урока и задание на дом.

Содержание урока.

«Число-это закон и связь мира, сила ,царящая над богами и смертными.» «Сущность вещей есть число, которое вносит во все единство и гармонию» Пифагор

Учитель: Объявляю тему «Прогрессии», сообщаю количество часов, отводимых на ее изучение. А также количество часов на зачет, практикум, тесты, самостоятельную работу и т.д. Поясняю, что означает термин «прогрессия» (от лат. «progressio», что означает движение вперед), был введен римским автором Боэцием в 6 веке н.э. Определение прогрессий.Начинаю урок с того, что диктую несколько членов последовательности, а учащимся надо продолжить ее, написав еще 3 члена, осознав предварительно закон, по которому они составлены 6; 8; 10… 2) 25; 21; 17… 3) -12, -9, -6… 4) 4; 41/3; 42/3 ;… 5) √2; √2-2…*

Учитель:

Предлагаю назвать несколько последовательностей, которые отличаются от всех остальных. Постарайтесь сформулировать закон, по которому составлены остальные последовательности √2; √2-3; √2-6… 1,7; -0,9; -0,1…

a_n= 3-4n. a_1; a_2; a_3… a_(n-1); a_n - арифметическая прогрессия Определение (см .учебник). 〖 a〗_(n+1)=a_n+d, d=a_(n+1)-a_n, d – разность.

Определить d в предыдущей последовательности (*).

Аналогично для геометрической прогрессии

    • 1) 2; 6; 18. 2) 1; 1/2; 1/4. 3) 3; -6; 12.

4) √2;2;2√2 5) 2; 22; 23 6) придумывают учащиеся

b1; b2; b3… bn – геометрическая прогрессия. bn≠0, bn+1= bn*q, q – знаменатель геометрической прогрессии. q=b_(n+1)/b_n Определение (см. учебник) Формула общего члена прогрессии. арифметической геометрической 〖 a〗_2=a_1+d b2= b1*q 〖 a〗_3=a_2+d=a_1+2d b3= b2*q= b1*q2 〖 a〗_4=a_3+d=a_1+3d b4= b3*q= b1*q3 〖 a〗_n=a_1+(n-1)d bn= b1*qn-1

                             Замечательное свойство членов прогрессий:
           арифметической	             геометрической
         3; 7; х; 15;   	             3; 6; х; 24 
                 Найти х. Как найти? Заметим:

├ █(7+4=11@15-4=11)} (7+15)/2=11 ├ █(6*2=12@24:2=12@〖12〗^2=144)} 〖12〗^2=6*24 a_(n-1)=(a_(n-2)+a_n)/2 a_n^2=a_(n-1)*a_(n+1) Сумма n членов. Арифметической прогрессии. 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 Внимание: Задача очень непроста Как сделать чтобы быстро От 1 до 100 Сложить в уме все числа 5 первых связок изучи Найдешь к решению ключи: 1+100=? 2+99=? 3+98=? 4+97=? 5+96=?

Давным давно один мудрец сказал что прежде надо связать начало и конец у числового ряда. Исторические сведения о К.Ф.Гауссе (1777-1855) В.К.Смышляев «О математике и математиках» стр. 91.

Вам предстоит найти еще один способ, чтобы найти сумму от 1  до 100.
              S = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100
              S = 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1
           ___________________________
                    2S=(1+100)*100
                     S=(1+100)*50

Аналогия. Найти сумму:

               S =〖 a〗_1+ a_2+ a_3+ … 〖+ a〗_(n-1 )+ a_n
               S=a_n 〖+ a_(n-1)+ …+ a_3+ a_2+ a〗_1
               _____________________________
                       2S = (〖 a〗_1+ a_n)* n
                          S = (〖 a〗_1+ a_n)/2 * n

Геометрической прогрессии. Исторические сведения. Легенда об изобретателе шахмат Сете, который запросил в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится если на каждую клетку шахматной доски класть зерен в 2 раза больше (см. «Живая математика» Перельман Я.И..)

     S = 1 + 2 + 22 + … + 263
     S*q = 2 + 22 +23 + … 264

_________________________________ S*q - S = 264 – 1 – масса такого числа зерен больше триллиона тонн.

Поэтому царь не выполнил просьбу Сеты). Аналогия. S_n = 〖 b〗_1+ b_2+ b_3+ … 〖+ b〗_(n-1 )+ b_n S_n*q = 〖 b〗_(1*q)+ b_2*q+ b_3*q+ … + b_n*q __________________________________ S_n*q - S_n = b_n*q - 〖 b〗_1 S_n (q-1)= b_n*q - 〖 b〗_1, S_n= (b_n*q )/(q-1) Бесконечная геометрическая прогрессия. Пример деления отрезка, см. учебник стр. 94. . а затем в общем виде q<1. S = 〖 b〗_1+ 〖 b〗_1*q+⋯ S = (b_1 (q^n-1))/(q-1) = (b_1*q^n- b_1)/(q-1) = (〖b_1-b〗_1*q^n )/(1-q) = (b_1 )/(1-q) - (b_1*q^n )/(1-q) = (b_1 )/(1-q); q^n⟶0

Задачи, требующие определенных знаний по теме «Прогрессии». У меня имеется 16 двойных листов, пронумерованных от 1 до 16 с начала и от 16 до 1 от конца. Я снимаю двойные листы поочередно. На каком из них сумма указанных страниц будет наибольшей?

Могут ли 3 члена арифметической прогрессии одновременно членами геометрической прогрессии? (прогрессии с неравными членами). Выписаны 2 арифметические прогрессии. Если у каждого члена 1-ой прогрессии вычесть соответствующий член 2-ой прогрессии, то получится ли снова арифметическая прогрессия? В 2-х трехчленных прогрессиях арифметической и геометрической одинаковы первый и последний члены. В какой из них сумма членов больше?

Дан квадрат со стороной 4 см. В него вписан квадрат, вершинами которого являются середины сторон первого, во второй вписывается снова квадрат аналогично и т.д. Требуется найти сумму всех площадей квадратов. 〖 S〗_1 = 16, S_2= 8… S_n = 16 + 8+ 4 + 2 + …

Исторические справки. Сколько лет известно о геометрической и арифметической прогрессиях? Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессиях можно встретить в древневавилонских и египетских надписях, имеющих возраст около 4 тысячелетий и более, а в Древней Греции за 5 столетий до н.э. были известны такие суммы

    1 + 2 + 3 + … + n = n/2 (n+1)
    1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2
    2 + 4 + 6 + … + 2n = n*(n+1)

А знаменитая задача о награде за изобретение шахмат встречается у аль-Бируши (973 – около 1050 г).

    2 + 22 + … + 263 = 264 – 1

Широкое применение прогрессии находят в теоретических исследованиях и вычислительной технике – бесконечные ряды. Так известные функции sin и cos можно представить в виде суммы степенных рядов

  sinx = x - x^3/(1*2*3) + x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*3*4*5*6*7) + …
  cosx = 1 - x^2/(1*2) + x^4/(1*2*3*4) - x^6/(1*2*3*4*5*6) + … 

Решение задач древнеегипетского папируса Ахмеса (около 2 000 лет до н.э.) также сводится к знаниям арифметической и геометрической прогрессий. Имеется 7 домов, в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь съедает по 7 колосков, каждый из которых если посеять семя дает 7 мер зерна. Нужно посчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна. Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом равнялась 1/8 меры. Учащиеся ведут конспектирование на полном развороте тетради. Слева – арифметическая прогрессия, справа – геометрическая. № Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия 1 (a_n): a_2 = a_1 + d, a_3 = a_2 + d, a_n = a_(n-1) + d, d = a_n - a_(n-1) (b_n): b_n≠0,〖 b〗_2=b_1*q,… b_n=b_(n-1)*q, q=b_n/b_(n-1) 2 〖 a〗_n= a_1 + (n-1)*d b_n=b_(n-1)*q 3 (a_n): a_1,a_2…a_n,a_(n+1) a_n = (a_(n-1)+ a_(n+1))/2 〖(b〗_n): b_1,b_2,b_3… b_(n-1),b_n1 b_(n-1)^2 = b_n*b_(n-2) 4 a_1+a_(n )= a_2+a_(n-1)=… =a_k+a_(k+1) b_1*b_n=b_2*b_(n-1)=b_k*b_(k+1) 5 S = (〖 a〗_1+ a_n)/2 * n

S = (〖 2a〗_1+ (n-1)*d)/2	S = (〖 b〗_1- b_n*q)/(1-q); (q≠1)

S = (〖 b〗_1*(1- q^n))/(1-q); (q≠1) Домашнее задание:теория (учебник и лекция) Подведение итогов. Выставление оценок. Используемая литература: «За страницами учебника алгебры.»,Л.Ф.Пичурин. «Внеклассная работа по математике»,З.Н.Альхова,А.В.Макеева. «Живая математика »,Я.И.Перельман Энциклопедия. «Школьникам о математике и математиках»,М.И.Лиман.